Ты просишь доказать, что при любом значении переменной верно неравенство: (p-3) (p + 4) <p(p + 1)

Конечно, давай разберёмся с этими неравенствами и утверждениями! 1) $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Раскроем скобки с обеих сторон: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$ $p^2 + p - 12 < p^2 + p$ Теперь вычтем $(p^2 + p)$ из обеих частей: $-12 < 0$ Так как $-12$ всегда меньше $0$, неравенство верно при любом значении $p$. 2) $(x+1)^2 > x(x+2)$ Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$ Вычтем $(x^2 + 2x)$ из обеих частей: $1 > 0$ Так как $1$ всегда больше $0$, неравенство верно при любом значении $x$. 3) $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскроем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$ $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$ Вычтем $(a^2 - 3a)$ из обеих частей: $-10 > -40$ Так как $-10$ всегда больше $-40$, неравенство верно при любом значении $a$. 4) $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскроем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$ Вычтем $(y^2 + 8y)$ из обеих частей: $0 < 16$ Так как $0$ всегда меньше $16$, неравенство верно при любом значении $y$. 5) $(2a-5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$ Раскроем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$ Вычтем $(-20a + 25)$ из обеих частей: $4a^2 \le 6a^2$ Вычтем $4a^2$ из обеих частей: $0 \le 2a^2$ $0 \le a^2$ Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, неравенство верно при любом значении $a$. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$ Преобразуем неравенство: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$ $(a-2)^2 \ge 0$ Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, неравенство верно при любом значении $a$. Теперь давай посмотрим на утверждения: 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$ Это утверждение верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 1$. Допущение: $b > 0$ 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$ Это утверждение верно, так как если $a > 1$, то деление $2$ на число больше $1$ даст результат меньше $2$. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$ Это утверждение верно, так как если $a < 1$, то деление $2$ на число меньше $1$ даст результат больше $2$. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$ Это утверждение верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $a < b$. Допущение: $b > 0$ 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Это утверждение не всегда верно. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a < 1$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё!