Реши задания 29-34

29. Сравнение чисел: * а) 5,48(5) и 5,4(85): Чтобы сравнить числа 5,48(5) и 5,4(85), нужно посмотреть на цифры после запятой. У первого числа 485, у второго 485. Так как 5,485555... > 5,485858..., то 5,48(5) < 5,4(85). * б) -3,5(61) и -3,56(1): Сравниваем числа -3,5(61) и -3,56(1). Заметим, что -3,5(61) = -3,5616161..., а -3,56(1) = -3,561111.... Так как оба числа отрицательные, то больше то число, у которого модуль меньше. В данном случае, |-3,5616161...| > |-3,561111...|, значит -3,5(61) < -3,56(1). 30. Найдём два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: * $\sqrt{3}$: Так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. * $\sqrt{5}$: Так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. * $\sqrt{8}$: Так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{8} < 3$. * $\sqrt{10}$: Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{10} < 4$. * $\sqrt{20}$: Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{20} < 5$. * $\sqrt{50}$: Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $7 < \sqrt{50} < 8$. * $\sqrt{75}$: Так как $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$, то $8 < \sqrt{75} < 9$. 31. Сравнение чисел $c$ и $\sqrt{c}$ при условии: * а) $c > 1$: Если $c > 1$, то $\sqrt{c} < c$. Например, если $c = 4$, то $\sqrt{4} = 2$, и $2 < 4$. * б) $0 < c < 1$: Если $0 < c < 1$, то $\sqrt{c} > c$. Например, если $c = 0,25$, то $\sqrt{0,25} = 0,5$, и $0,5 > 0,25$. Существует значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$. Это значение $c = 1$, так как $\sqrt{1} = 1$. 32. Сравнение чисел: * a) $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$: Нужно сравнить $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$. Возведём оба числа в квадрат: $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$ $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$ Так как $75 > 45$, то $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$. * б) $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$: Сравним $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$. $0,1\sqrt{4500} = 0,1 \sqrt{45 \cdot 100} = 0,1 \cdot 10 \sqrt{45} = \sqrt{45}$ Значит, $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$. * в) $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$: Сравним $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$. $(0,3\sqrt{10})^2 = 0,09 \cdot 10 = 0,9$ $(0,1\sqrt{80})^2 = 0,01 \cdot 80 = 0,8$ Так как $0,9 > 0,8$, то $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$. * г) $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$: Сравним $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. $(-4\sqrt{0,2})^2 = 16 \cdot 0,2 = 3,2$ $(-\sqrt{0,7})^2 = 0,7$ Так как $3,2 > 0,7$, то $|-4\sqrt{0,2}| > |-\sqrt{0,7}|$. Значит, $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$. 33. Найдём значение выражения: * а) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$: $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21} = \frac{62}{5} - \frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{62}{5} - \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{62}{5} - \frac{16 \cdot 3}{40} = \frac{62}{5} - \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{62}{5} - \frac{6}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}$ * б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$: $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21} = (\frac{62}{5} - \frac{16}{7}) : \frac{40}{21} = (\frac{62 \cdot 7 - 16 \cdot 5}{35}) : \frac{40}{21} = (\frac{434 - 80}{35}) : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} \cdot \frac{21}{40} = \frac{177}{5} \cdot \frac{3}{40} = \frac{531}{200} = 2\frac{131}{200}$ 34. Найдём сумму, разность, произведение и частное чисел: * а) $2,4 \cdot 10^{-2}$ и $0,0125 \cdot 10^{3}$: $2,4 \cdot 10^{-2} = 0,024$ $0,0125 \cdot 10^{3} = 12,5$ Сумма: $0,024 + 12,5 = 12,524$ Разность: $0,024 - 12,5 = -12,476$ Произведение: $0,024 \cdot 12,5 = 0,3$ Частное: $0,024 : 12,5 = 0,00192$ * в) $15,4 \cdot 10^{6}$ и $0,044 \cdot 10^{7}$: $15,4 \cdot 10^{6} = 15400000$ $0,044 \cdot 10^{7} = 440000$ Сумма: $15400000 + 440000 = 15840000$ Разность: $15400000 - 440000 = 14960000$ Произведение: $15400000 \cdot 440000 = 6776000000000$ Частное: $15400000 : 440000 = 35$ * (3,5 · 10⁻³)² и (7 · 10⁻⁴)²: $(3,5 \cdot 10^{-3})^2 = 12,25 \cdot 10^{-6} = 0,00001225$ $(7 \cdot 10^{-4})^2 = 49 \cdot 10^{-8} = 0,00000049$ Сумма: $0,00001225 + 0,00000049 = 0,00001274$ Разность: $0,00001225 - 0,00000049 = 0,00001176$ Произведение: $0,00001225 \cdot 0,00000049 = 0,0000000000060025$ Частное: $0,00001225 : 0,00000049 = 25