Помоги мне найти допустимые значения переменной в выражениях и решить задачи про автомобиль и тетради

5. Найди допустимые значения переменной, входящей в выражение: 1) $2x - 5$ Здесь нет деления на переменную, поэтому $x$ может быть любым числом. 2) $\frac{18}{m}$ Тут переменная $m$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $m \neq 0$. 3) $\frac{9}{x-5}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. 4) $\frac{x-5}{9}$ Здесь нет деления на переменную, поэтому $x$ может быть любым числом. 5) $\frac{2+y}{1+y}$ Здесь переменная $y$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $1 + y \neq 0$, то есть $y \neq -1$. 6) $\frac{1}{x^2 + 4}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю. Но $x^2$ всегда больше или равно нулю, значит, $x^2 + 4$ всегда больше нуля. Получается, что $x$ может быть любым числом. 7) $\frac{5}{x^2 - 4}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 4$. Это значит, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. 8) $\frac{5}{|x| - 4}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе и под модулем. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $|x| - 4 \neq 0$, то есть $|x| \neq 4$. Это значит, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$. 9) $\frac{2}{x-2} + \frac{3x}{x+1}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x - 2 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$. Это значит, что $x \neq 2$ и $x \neq -1$. 10) $\frac{x+4}{x(x-6)}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$. Это значит, что $x \neq 0$ и $x \neq 6$. 11) $\frac{x}{|x| + 1}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе и под модулем. Знаменатель не может быть равен нулю. Но $|x|$ всегда больше или равно нулю, значит, $|x| + 1$ всегда больше нуля. Получается, что $x$ может быть любым числом. 12) $\frac{x^2}{(x-3)(x+5)}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x - 3 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$. Это значит, что $x \neq 3$ и $x \neq -5$. 6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) $\frac{9}{y}$ Переменная $y$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $y \neq 0$. 2) $\frac{x+7}{x+9}$ Переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x + 9 \neq 0$, то есть $x \neq -9$. 3) $\frac{m-1}{m^2 - 9}$ Переменная $m$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $m^2 - 9 \neq 0$, то есть $m^2 \neq 9$. Это значит, что $m \neq 3$ и $m \neq -3$. 4) $\frac{x}{|x| - 3}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе и под модулем. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $|x| - 3 \neq 0$, то есть $|x| \neq 3$. Это значит, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. 5) $\frac{4}{x-8} + \frac{1}{x-1}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x - 8 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$. Это значит, что $x \neq 8$ и $x \neq 1$. 6) $\frac{2x-3}{(x+2)(x-10)}$ Здесь переменная $x$ в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, значит, $x + 2 \neq 0$ и $x - 10 \neq 0$. Это значит, что $x \neq -2$ и $x \neq 10$. 7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную $x$ и имеет смысл при всех значениях $x$, кроме: 1) $x = 7$ Дробь: $\frac{1}{x - 7}$. 2) $x = -1$ Дробь: $\frac{1}{x + 1}$. 3) $x = 0$ и $x = 4$ Дробь: $\frac{1}{x(x - 4)}$. 8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $y$, допустимыми значениями которой являются: 1) все числа, кроме 5 Дробь: $\frac{1}{y - 5}$. 2) все числа, кроме -2 и 0 Дробь: $\frac{1}{y(y + 2)}$. 3) все числа, кроме 3, -3 и 6 Дробь: $\frac{1}{(y - 3)(y + 3)(y - 6)}$. 4) все числа Дробь: $\frac{1}{y^2 + 1}$. Знаменатель всегда больше нуля, значит, $y$ может быть любым числом. 9. Автомобиль проехал по шоссе $a$ км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге $b$ км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при $a = 150$, $b = 20$. Время находится по формуле: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - расстояние, $v$ - скорость. Время, затраченное на путь по шоссе: $t_1 = \frac{a}{75}$. Время, затраченное на путь по грунтовой дороге: $t_2 = \frac{b}{40}$. Общее время: $t = t_1 + t_2 = \frac{a}{75} + \frac{b}{40}$. Подставим значения $a = 150$ и $b = 20$: $t = \frac{150}{75} + \frac{20}{40} = 2 + 0,5 = 2,5$ часа. 10. Ученик купил тетради по 8 р., заплатив за них $m$ р., и по 14 р., заплатив за них $n$ р. Сколько тетрадей купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при $m = 24$, $n = 56$. Количество тетрадей по 8 р.: $\frac{m}{8}$. Количество тетрадей по 14 р.: $\frac{n}{14}$. Общее количество тетрадей: $\frac{m}{8} + \frac{n}{14}$. Подставим значения $m = 24$ и $n = 56$: $\frac{24}{8} + \frac{56}{14} = 3 + 4 = 7$ тетрадей. 11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $x$ значение дроби: 1) $\frac{1}{x^2}$ положительное $x^2$ всегда больше или равно нулю. Значит, $\frac{1}{x^2}$ всегда больше нуля (потому что на ноль делить нельзя). Значит, дробь всегда положительная. 2) $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное. $x^2 + 1$ всегда больше нуля. $6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$. $-(x - 3)^2$ всегда меньше или равно нулю. Значит, дробь всегда отрицательная.