Помоги мне решить уравнения: 1) lg(1/2 + x) = lg 1 - lg x; 2) 2 lg x = -lg(6-x²)

Привет! Давай разберемся с этими уравнениями. 1) $\lg(\frac{1}{2} + x) = \lg 1 - \lg x$ Чтобы решить это уравнение, сначала упростим правую часть, используя свойство логарифмов: $\lg 1 = 0$. Тогда уравнение станет: $\lg(\frac{1}{2} + x) = - \lg x$ Теперь можно избавиться от логарифмов, представив обе части уравнения как степени числа 10: $\frac{1}{2} + x = 10^{-\lg x} = \frac{1}{x}$ Умножим обе части на $2x$, чтобы избавиться от дробей: $x + 2x^2 = 2$ $2x^2 + x - 2 = 0$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$ Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$ Так как под знаком логарифма может быть только положительное число, нам нужно проверить, какие из этих корней подходят. $x_2$ отрицательный, поэтому он не подходит. $x_1$ положительный, поэтому он подходит. 2) $2 \lg x = -\lg(6 - x^2)$ Сначала используем свойство логарифмов, чтобы упростить левую часть: $\lg x^2 = -\lg(6 - x^2)$. Теперь избавимся от логарифмов: $x^2 = \frac{1}{6 - x^2}$ $x^2(6 - x^2) = 1$ $6x^2 - x^4 = 1$ $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ Замена: $y = x^2$, тогда уравнение станет: $y^2 - 6y + 1 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$ Корни: $y_1 = \frac{6 + \sqrt{32}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$ и $y_2 = \frac{6 - \sqrt{32}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$ Теперь найдем $x$: $x = \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ и $x = \pm \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ Проверим, какие корни подходят, учитывая, что $x$ должен быть положительным (так как он под знаком логарифма), и $6 - x^2$ тоже должно быть положительным: $x_1 = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ и $x_2 = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ Оба корня подходят. **Ответ:** 1) $x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ 2) $x = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ и $x = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$