Конечно, давай решим уравнения!
a) $\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9};$
Чтобы решить это уравнение, сначала нужно избавиться от знаменателей. Заметим, что $x^2 - 9$ это разность квадратов, которую можно разложить на $(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на $(x-3)(x+3)$:
$x(x+3) - 5(x-3) = 18$
Раскроем скобки:
$x^2 + 3x - 5x + 15 = 18$
Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в одну сторону:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Давай попробуем теорему Виета. Нам нужны два числа, которые в сумме дают 2, а в произведении -3. Это числа 3 и -1.
Итак, корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Теперь нужно проверить, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = 3$, то знаменатель $x - 3$ обращается в ноль, что недопустимо. Значит, $x = 3$ не является решением.
Если $x = -1$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, это решение подходит.
**Ответ: $x = -1$**
б) $\frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4};$
$x^2-16$ можно разложить как $(x-4)(x+4)$. Умножим обе части уравнения на $(x-4)(x+4)$ чтобы избавиться от знаменателей:
$70 - 17(x+4) = 3x(x-4)$
Раскроем скобки:
$70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x$
Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в одну сторону:
$3x^2 - 12x + 17x - 2 = 0$
$3x^2 + 5x - 2 = 0$
Теперь решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = \frac{1}{3}$ и $x = -2$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, оба решения подходят.
**Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -2$**
в) $\frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4};$
Заметим, что $(2-x)^2 = (x-2)^2$, а $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на $(x-2)^2(x+2)^2$:
$3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2)$
Раскроем скобки:
$3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 14(x^2 - 4)$
$3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56$
Приведем подобные слагаемые и перенесем всё в одну сторону:
$16x^2 - 32x - 48 = 0$
Разделим обе части на 16:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Как и в первом примере, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = 3$ и $x = -1$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, оба решения подходят.
**Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1$**
г) $\frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0;$
Разложим знаменатели: $4-x^2 = (2-x)(2+x)$, $2x-4 = 2(x-2)$, $2x^2+4x = 2x(x+2)$. Приведем к общему знаменателю $2x(x-2)(x+2)$:
$\frac{-2x}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{-x(x+2)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} = 0$
Соберем все в одну дробь:
$\frac{-2x + x(x+2) - 7(x-2)}{2x(x-2)(x+2)} = 0$
Упростим числитель:
$\frac{-2x + x^2 + 2x - 7x + 14}{2x(x-2)(x+2)} = 0$
$\frac{x^2 - 7x + 14}{2x(x-2)(x+2)} = 0$
Решим уравнение $x^2 - 7x + 14 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 49 - 56 = -7$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.
**Ответ: нет решений**
д) $\frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6};$
Разложим знаменатели: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, $3x-x^2 = x(3-x) = -x(x-3)$, $2x+6 = 2(x+3)$. Приведем к общему знаменателю $2x(x-3)(x+3)$:
$\frac{2x}{2x(x-3)(x+3)} + \frac{-2(x+3)}{2x(x-3)(x+3)} = \frac{3x(x-3)}{2x(x-3)(x+3)}$
Соберем все в одну дробь:
$\frac{2x - 2(x+3) - 3x(x-3)}{2x(x-3)(x+3)} = 0$
Упростим числитель:
$\frac{2x - 2x - 6 - 3x^2 + 9x}{2x(x-3)(x+3)} = 0$
$\frac{-3x^2 + 9x - 6}{2x(x-3)(x+3)} = 0$
Решим уравнение $-3x^2 + 9x - 6 = 0$. Разделим на -3: $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = 1$ и $x = 2$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, оба решения подходят.
**Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2$**
е) $\frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0;$
Разложим знаменатели: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Приведем к общему знаменателю $(1-x)(x+1)^2$:
$\frac{2(x+1)}{(1-x)(x+1)^2} - \frac{(x+1)^2}{(1-x)(x+1)^2} + \frac{4(1-x)}{(1-x)(x+1)^2} = 0$
Соберем все в одну дробь:
$\frac{2(x+1) - (x+1)^2 + 4(1-x)}{(1-x)(x+1)^2} = 0$
Упростим числитель:
$\frac{2x+2 - (x^2+2x+1) + 4 - 4x}{(1-x)(x+1)^2} = 0$
$\frac{2x+2 - x^2 - 2x - 1 + 4 - 4x}{(1-x)(x+1)^2} = 0$
$\frac{-x^2 - 4x + 5}{(1-x)(x+1)^2} = 0$
Решим уравнение $-x^2 - 4x + 5 = 0$. Домножим на -1: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = 1$, то знаменатель $1-x$ обращается в ноль, что недопустимо. Если $x = -5$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, это решение подходит.
**Ответ: $x = -5$**
ж) $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25};$
Разложим знаменатели: $x^2+5x = x(x+5)$, $2x-10 = 2(x-5)$, $x^2-25 = (x-5)(x+5)$. Приведем к общему знаменателю $2x(x-5)(x+5)$:
$\frac{4(x-5)}{2x(x-5)(x+5)} + \frac{3x(x+5)}{2x(x-5)(x+5)} = \frac{30x}{2x(x-5)(x+5)}$
Соберем все в одну дробь:
$\frac{4(x-5) + 3x(x+5) - 30x}{2x(x-5)(x+5)} = 0$
Упростим числитель:
$\frac{4x-20 + 3x^2+15x - 30x}{2x(x-5)(x+5)} = 0$
$\frac{3x^2 - 11x - 20}{2x(x-5)(x+5)} = 0$
Решим уравнение $3x^2 - 11x - 20 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$. Корни:
$x_1 = \frac{11 + \sqrt{361}}{6} = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{11 - \sqrt{361}}{6} = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Если $x = 5$, то знаменатель $2x-10$ обращается в ноль, что недопустимо. Если $x = -\frac{4}{3}$, то все знаменатели в исходном уравнении не равны нулю, значит, это решение подходит.
**Ответ: $x = -\frac{4}{3}$**
з) $\frac{5}{2x+6} - \frac{1}{6x^2-18x} + \frac{29}{3x^2-27} = 0.$
Разложим знаменатели:
$2x + 6 = 2(x + 3)$,
$6x^2 - 18x = 6x(x - 3)$,
$3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x - 3)(x + 3)$.
Общий знаменатель: $6x(x - 3)(x + 3)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{5 \cdot 3x(x - 3)}{6x(x - 3)(x + 3)} - \frac{1 \cdot (x + 3)}{6x(x - 3)(x + 3)} + \frac{29 \cdot 2x}{6x(x - 3)(x + 3)} = 0.$
Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, мы можем сложить числители:
$15x(x - 3) - (x + 3) + 58x = 0.$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$15x^2 - 45x - x - 3 + 58x = 0$,
$15x^2 + 12x - 3 = 0.$
Разделим уравнение на 3, чтобы упростить его:
$5x^2 + 4x - 1 = 0.$
Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36.$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$,
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1.$
Проверим, не обращаются ли знаменатели в ноль при этих значениях $x$. Подставим $x_1 = \frac{1}{5}$ и $x_2 = -1$ в исходные знаменатели, чтобы убедиться, что они не равны нулю. Оба корня подходят.
**Ответ: $x_1 = \frac{1}{5}, x_2 = -1$**
