Реши примеры: сократи дробь 18/84, сравни дроби 9/14 и 5/8 и т.д.

1. Чтобы сократить дробь $\frac{18}{84}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 18 и 84. * Разложим числа на простые множители: $$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$$ $$84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$$ * НОД(18, 84) = $2 \cdot 3 = 6$ * Теперь разделим числитель и знаменатель на НОД: $$\frac{18}{84} = \frac{18:6}{84:6} = \frac{3}{14}$$ **Ответ: $\frac{3}{14}$** 2. Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{14}$ и $\frac{5}{8}$, нужно привести их к общему знаменателю. * Наименьший общий знаменатель (НОЗ) чисел 14 и 8: НОЗ(14, 8) = 56. * Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{36}{56}$$ $$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$$ * Сравним дроби с общим знаменателем: $\frac{36}{56} > \frac{35}{56}$, значит $\frac{9}{14} > \frac{5}{8}$ **Ответ: $\frac{9}{14} > \frac{5}{8}$** 3. Сложим дроби $\frac{7}{15} + \frac{9}{20}$. * Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) чисел 15 и 20: НОЗ(15, 20) = 60. * Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$$ $$\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$$ * Сложим дроби: $$\frac{28}{60} + \frac{27}{60} = \frac{28+27}{60} = \frac{55}{60}$$ * Сократим дробь: $$\frac{55}{60} = \frac{55:5}{60:5} = \frac{11}{12}$$ **Ответ: $\frac{11}{12}$** 4. Вычтем дроби $\frac{9}{14} - \frac{8}{21}$. * Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) чисел 14 и 21: НОЗ(14, 21) = 42. * Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$$ $$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$$ * Вычтем дроби: $$\frac{27}{42} - \frac{16}{42} = \frac{27-16}{42} = \frac{11}{42}$$ **Ответ: $\frac{11}{42}$** 5. Представим смешанное число $2\frac{3}{7}$ в виде неправильной дроби: $$2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14+3}{7} = \frac{17}{7}$$ **Ответ: $\frac{17}{7}$** 6. Найдем значение выражения $7\frac{10}{21} - 1\frac{5}{14} + 4\frac{5}{6}$. * Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $$7\frac{10}{21} = \frac{7 \cdot 21 + 10}{21} = \frac{147+10}{21} = \frac{157}{21}$$ $$1\frac{5}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{14+5}{14} = \frac{19}{14}$$ $$4\frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{24+5}{6} = \frac{29}{6}$$ * Выполним действия с дробями: $$\frac{157}{21} - \frac{19}{14} + \frac{29}{6} = \frac{157 \cdot 2}{21 \cdot 2} - \frac{19 \cdot 3}{14 \cdot 3} + \frac{29 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{314}{42} - \frac{57}{42} + \frac{203}{42} = \frac{314 - 57 + 203}{42} = \frac{460}{42}$$ * Сократим дробь: $$\frac{460}{42} = \frac{230}{21}$$ * Представим результат в виде смешанного числа: $$\frac{230}{21} = 10\frac{20}{21}$$ **Ответ: $10\frac{20}{21}$** 7. Решим уравнение $y - \frac{7}{9} = 2\frac{1}{3}$. * Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$$ * Решим уравнение: $$y - \frac{7}{9} = \frac{7}{3}$$ $$y = \frac{7}{3} + \frac{7}{9}$$ $$y = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{7}{9} = \frac{21}{9} + \frac{7}{9} = \frac{21+7}{9} = \frac{28}{9}$$ * Представим результат в виде смешанного числа: $$\frac{28}{9} = 3\frac{1}{9}$$ **Ответ: $3\frac{1}{9}$** 8. Чтобы найти, какая часть материала осталась неизрасходованной, нужно из 1 (целого материала) вычесть части, израсходованные первым и вторым рабочими: $$1 - \frac{2}{15} - \frac{2}{9}$$ * Приведем дроби к общему знаменателю (НОЗ(15, 9) = 45): $$1 - \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} = 1 - \frac{6}{45} - \frac{10}{45} = \frac{45}{45} - \frac{6}{45} - \frac{10}{45} = \frac{45-6-10}{45} = \frac{29}{45}$$ **Ответ: $\frac{29}{45}$** 9. Найдем, на сколько километров меньше пролетит вертолёт, чем самолёт за 4 часа. * Найдем расстояние, которое пролетит вертолёт за 4 часа: $$350 \cdot 4 = 1400 \text{ км}$$ * Найдем расстояние, которое пролетит самолёт за 4 часа: $$820 \cdot 4 = 3280 \text{ км}$$ * Найдем разницу в расстоянии: $$3280 - 1400 = 1880 \text{ км}$$ **Ответ: на 1880 км** 10. Чтобы выполнить действие $5\frac{1}{6} - 3,3 + 2\frac{3}{5}$, сначала переведём всё в дроби. * $5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$ * $3,3 = 3\frac{3}{10} = \frac{33}{10}$ * $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$ Теперь вычисляем: $$\frac{31}{6} - \frac{33}{10} + \frac{13}{5} = \frac{31 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{33 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{155}{30} - \frac{99}{30} + \frac{78}{30} = \frac{155 - 99 + 78}{30} = \frac{134}{30} = \frac{67}{15} = 4\frac{7}{15}$$ **Ответ: $4\frac{7}{15}$** 11. Нужно найти натуральные значения $y$, при которых верно неравенство $\frac{2}{9} < y < \frac{11}{18}$. Сначала приведём дроби к общему знаменателю (18): $\frac{2}{9} = \frac{4}{18}$ Теперь неравенство выглядит так: $\frac{4}{18} < y < \frac{11}{18}$ Натуральные числа - это 1, 2, 3 и так далее. Нам нужно найти такие натуральные числа, которые больше $\frac{4}{18}$, но меньше $\frac{11}{18}$. Поскольку $\frac{4}{18}$ это меньше половины, а $\frac{11}{18}$ это чуть больше половины, то между ними нет натуральных чисел. **Ответ: Натуральных решений нет.** 12. Решим уравнение $\left(\frac{1}{6} + x\right) - 2\frac{1}{3} = 6\frac{3}{4}$. * Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$6\frac{3}{4} = \frac{27}{4}$$ * Уравнение примет вид: $$\frac{1}{6} + x - \frac{7}{3} = \frac{27}{4}$$ * Перенесём известные члены в правую часть: $$x = \frac{27}{4} + \frac{7}{3} - \frac{1}{6}$$ * Приведём дроби к общему знаменателю (12): $$x = \frac{27 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2}$$ $$x = \frac{81}{12} + \frac{28}{12} - \frac{2}{12}$$ $$x = \frac{81 + 28 - 2}{12} = \frac{107}{12}$$ * Выделим целую часть: $$x = 8\frac{11}{12}$$ **Ответ: $8\frac{11}{12}$** 13. Чтобы найти дробь, которая больше $\frac{7}{17}$, но меньше $\frac{8}{17}$, можно взять среднее арифметическое этих дробей: $$\frac{\frac{7}{17} + \frac{8}{17}}{2} = \frac{\frac{15}{17}}{2} = \frac{15}{17} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{34}$$ Проверим, что $\frac{7}{17} < \frac{15}{34} < \frac{8}{17}$: *$\frac{7}{17} = \frac{14}{34} < \frac{15}{34}$* *$\frac{15}{34} < \frac{16}{34} = \frac{8}{17}$* **Ответ: $\frac{15}{34}$**