Построй график функции y = 2(x + 3)² – 2

1. Чтобы записать уравнение параболы, которую получили сдвигом параболы $y = 3x^2$ на 2 единицы вправо, нужно заменить $x$ на $(x - 2)$. А чтобы сдвинуть ее на 3 единицы вниз, нужно вычесть 3 из всего уравнения. Получаем: $$y = 3(x - 2)^2 - 3$$ 2. Чтобы записать уравнение параболы, которую получили сдвигом параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ на 3 единицы влево, нужно заменить $x$ на $(x + 3)$. А чтобы сдвинуть ее на 4 единицы вверх, нужно прибавить 4 ко всему уравнению. Получаем: $$y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 4$$ 3. Построим график функции $y = 2(x + 3)^2 - 2$: Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-3; -2)$. График получается из графика $y = 2x^2$ сдвигом влево на 3 единицы и вниз на 2 единицы. 4. Построим график функции $y = -(x - 2)^2 + 3$: Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$. График получается из графика $y = -x^2$ сдвигом вправо на 2 единицы и вверх на 3 единицы. 5. Построим график функции $y = 3x^2 - 6x - 2$: Чтобы построить этот график, сначала выделим полный квадрат: $y = 3(x^2 - 2x) - 2 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2 = 3((x - 1)^2 - 1) - 2 = 3(x - 1)^2 - 3 - 2 = 3(x - 1)^2 - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(1; -5)$. График получается из графика $y = 3x^2$ сдвигом вправо на 1 единицу и вниз на 5 единиц. 6. Построим график функции $y = |x^2 - 2x - 3|$: Сначала построим график функции $y = x^2 - 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{-2}{2} = 1$, $y_в = 1 - 2 - 3 = -4$. Парабола пересекает ось $x$ в точках, где $x^2 - 2x - 3 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$, то есть $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Теперь берем модуль от этой функции. Это значит, что часть графика, которая находится ниже оси $x$, отображается симметрично вверх относительно оси $x$. 7. Построим график функции $y = x^2 - 2|x| - 3$: Здесь модуль стоит только у $x$. Значит, при $x \geq 0$ график совпадает с графиком $y = x^2 - 2x - 3$, а при $x < 0$ график симметричен относительно оси $y$. То есть, строим график $y = x^2 - 2x - 3$ для $x \geq 0$, а потом отображаем его симметрично относительно оси $y$. 8. Чтобы найти, при каком значении $x$ квадратичная функция $y = x^2 - 2x - 4$ принимает наименьшее значение, нужно найти вершину параболы. Так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0), то наименьшее значение функция принимает в вершине. $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$ Теперь найдем это значение: $$y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$$ **Ответ: при $x = 1$ функция принимает наименьшее значение, равное $-5$.** 9. Чтобы найти, при каком значении $x$ квадратичная функция $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 8$ принимает наибольшее значение, нужно найти вершину параболы. Так как ветви параболы направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, что меньше 0), то наибольшее значение функция принимает в вершине. $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{-2}{-\frac{2}{3}} = -2 \cdot (-\frac{3}{2}) = -3$$ Теперь найдем это значение: $$y(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 8 = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 + 8 = -3 + 6 + 8 = 11$$ **Ответ: при $x = -3$ функция принимает наибольшее значение, равное $11$.**