Объясни, как представить число в виде бесконечной десятичной периодической дроби и проверь, выполнив деление, что верно равенство.

Конечно, давай разберемся с этими заданиями! **7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:** Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, нужно числитель разделить на знаменатель. Посмотри, какое число получится после деления. а) $\frac{1}{3} = 0,(3)$ - это бесконечная десятичная периодическая дробь, у которой в периоде цифра 3. **8. Представьте число в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Округлите результат до десятых; до сотых; до тысячных:** а) $\frac{1}{9} = 0,(1)$. *До десятых:* 0,1 *До сотых:* 0,11 *До тысячных:* 0,111 **9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство:** а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$. $2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$. Значит, равенство верное. б) $0,1(6) = \frac{1}{6}$. $0,1(6) = 0,1 + 0,0(6) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{90} = \frac{9}{90} + \frac{1}{90} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$. Значит, равенство неверное. в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$. $7,(18) = 7 + 0,(18) = 7 + \frac{18}{99} = 7 + \frac{2}{11} = 7\frac{2}{11}$. Значит, равенство верное. г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$. $3,4(6) = 3,4 + 0,0(6) = 3\frac{4}{10} + \frac{1}{10} \cdot \frac{6}{9} = 3\frac{2}{5} + \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} = 3\frac{2}{5} + \frac{2}{30} = 3\frac{12}{30} + \frac{2}{30} = 3\frac{14}{30} = 3\frac{7}{15}$. Значит, равенство верное. **10. Докажите, что разность, произведение и частное рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — число рациональное:** Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ - целые числа, и $q$ не равно 0. * **Разность:** Пусть есть два рациональных числа: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Их разность: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$. Так как $ad - bc$ и $bd$ - целые числа, то и результат - рациональное число. * **Произведение:** $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Здесь тоже $ac$ и $bd$ - целые числа, значит, произведение - рациональное число. * **Частное:** $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$. И снова $ad$ и $bc$ - целые числа, значит, частное - рациональное число. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!