Ты просишь найти углы ∠ABD и ∠CBD, если ∠ABC = 123°, ∠ABD - ∠CBD = 17°.

1. Пусть $\angle ABD = x$, тогда $\angle CBD = x - 17$. Зная, что $\angle ABC = 123$, составим уравнение: $x + x - 17 = 123$. Решаем уравнение: $2x = 140$, значит, $x = 70$. Тогда $\angle ABD = 70^\circ$, $\angle CBD = 70^\circ - 17^\circ = 53^\circ$. 2. $\angle AOC_1 = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. $\angle BOA_1 = \angle B_1OC_1 + \angle AOC_1 = 30^\circ + 110^\circ = 140^\circ$. 3. Допущение: так как $BD$ перпендикулярно $AC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный, и $BD$ является высотой и биссектрисой. Значит, $\angle ABC = 2 \cdot \angle CBD = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AD = 4$ см, а гипотенуза $AB = BC$. \$\angle BAC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. По теореме синусов $\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin 90^\circ}$, значит, $AB = \frac{AD}{\sin 50^\circ} = \frac{4}{\sin 50^\circ} \approx \frac{4}{0.766} \approx 5.21$ см. $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 4 = 8$ см. 4. Допущение: так как $AB = BC$ и $AM = MC$, то $BM$ — медиана и биссектриса треугольника $ABC$. $\angle DBN = 50^\circ$, значит, $\angle NBM = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. 5. Допущение: точки $D$ и $F$ лежат на одной прямой $AC$. Так как $BD = BF$ и $AD = CF$, то $AB = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный.