Объясни, как доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$ или $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. a) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то это означает, что прямые AB и CD параллельны (так как $\angle BAC$ и $\angle ACD$ - накрест лежащие углы при секущей AC, и $\angle BCA$ и $\angle DAC$ - тоже накрест лежащие при той же секущей AC). Аналогично, BC и AD параллельны. Если обе пары противоположных сторон параллельны, то ABCD - параллелограмм. б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то нужно немного подумать. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если $\angle A = \angle C$, то это может быть параллелограмм. Чтобы доказать это, можно использовать свойства углов при параллельных прямых и секущей. Например, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.