Ты просишь решить задания: a) $(x^3 - x^2 - x + 10) : (x + 2)$, б) $(2x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 4x + 5) : (2x + 3)$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по порядку. **14. a) $(x^3 - x^2 - x + 10) : (x + 2)$** Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно выполнить деление уголком или использовать схему Горнера. В данном случае, я покажу деление уголком: $$\begin{array}{ccccccc} & x^3 & -x^2 & -x & +10 & | & x+2 \\ & x^3 & +2x^2 & & & | & x^2-3x+5 \\ & & -3x^2 & -x & +10 & & \\ & & -3x^2 & -6x & & & \\ & & & 5x & +10 & & \\ & & & 5x & +10 & & \\ & & & & & & 0 \\ \end{array}$$ Значит, $(x^3 - x^2 - x + 10) : (x + 2) = x^2 - 3x + 5$ **14. б) $(2x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 4x + 5) : (2x + 3)$** Делим многочлен на многочлен: $$\begin{array}{cccccccc} & 2x^4 & +3x^3 & -6x^2 & -4x & +5 & | & 2x+3 \\ & 2x^4 & +3x^3 & & & & | & x^3-3x+ \\ & & & -6x^2 & -4x & +5 & & \\ & & & -6x^2 & -9x & & & \\ & & & & 5x & +5 & & \\ \end{array}$$ Видим, что деление не заканчивается нацело. Остаток равен $5x + 5$. Значит, $(2x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 4x + 5) : (2x + 3) = x^3 - 3x + \frac{5x+5}{2x+3}$ **15. Докажите, что при неотрицательных значениях $a$ и $b$ верно неравенство $(a + 1)(b + 1)(ab + 1) > 8ab$.** Раскроем скобки в левой части неравенства: $(a + 1)(b + 1)(ab + 1) = (ab + a + b + 1)(ab + 1) = a^2b^2 + ab + a^2b + a + ab^2 + b + ab + 1 = a^2b^2 + a^2b + ab^2 + 2ab + a + b + 1$ Теперь нужно доказать, что $a^2b^2 + a^2b + ab^2 + 2ab + a + b + 1 > 8ab$ при $a \geq 0$ и $b \geq 0$. Перенесём всё в левую часть: $a^2b^2 + a^2b + ab^2 - 6ab + a + b + 1 > 0$ Заметим, что если $a = 0$ или $b = 0$, то неравенство превращается в $1 > 0$, что верно. Пусть $a > 0$ и $b > 0$. Тогда можно переписать неравенство так: $(a^2b^2 - 2ab + 1) + (a^2b - 2ab + a) + (ab^2 - 2ab + b) > 0$ $(ab - 1)^2 + a(ab - 2b + 1) + b(ab - 2a + 1) > 0$ Это выражение всегда больше нуля при неотрицательных $a$ и $b$, так как квадрат всегда неотрицателен. Значит, неравенство доказано. **16. a) $28 - 6x < x$** Решим неравенство: $28 < 7x$ $x > 4$ **16. б) $\frac{4x - 7}{2\sqrt{6} - 5} < 5 + 2\sqrt{6}$** Домножим обе части неравенства на $(2\sqrt{6} - 5)$. Так как $2\sqrt{6} \approx 2 * 2.45 = 4.9 < 5$, то знак неравенства меняется: $4x - 7 > (5 + 2\sqrt{6})(2\sqrt{6} - 5)$ $4x - 7 > 20 \cdot 6 - 25 + 24 - 10\sqrt{6} = 120 - 25 + 24 - 10\sqrt{6} = -1 + 10\sqrt{6}$ $4x > 6 + 10\sqrt{6}$ $x > \frac{6 + 10\sqrt{6}}{4} = \frac{3 + 5\sqrt{6}}{2}$ Вот и всё! Если что-то непонятно, спрашивай!