Объясни, как решить задания 11а, 12а, 13, 14 и 15 из упражнений для повторения.

11. a) Давай разберёмся, как найти формулу для сложной функции $y = f(g(x))$, когда $f(x) = \sqrt{x}$, а $g(x) = x^2 - 2x$. Это значит, что вместо каждого $x$ в функцию $f(x)$ нужно подставить $g(x)$. Получаем: $$y = f(g(x)) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{x^2 - 2x}$$ 12. а) Тут нужно найти две сложные функции: $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если $f(x) = x^2 - 2x - 3$, а $g(x) = |x| - 1$. Сначала найдём $y = f(g(x))$: Это значит, что вместо каждого $x$ в функцию $f(x)$ подставляем $g(x)$: $$y = f(g(x)) = (|x| - 1)^2 - 2(|x| - 1) - 3$$ Теперь найдём $y = g(f(x))$: Это значит, что вместо каждого $x$ в функцию $g(x)$ подставляем $f(x)$: $$y = g(f(x)) = |x^2 - 2x - 3| - 1$$ 13. Докажем, что значение выражения $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$ - натуральное число. Чтобы это доказать, нам нужно упростить это выражение и показать, что получится целое положительное число. Заметим, что $11 + 6\sqrt{2} = (3 + \sqrt{2})^2$ и $11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$. Тогда: $$\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| + |3 - \sqrt{2}|$$ Так как $3 > \sqrt{2}$, то оба выражения под модулем положительные, и модули можно убрать: $$3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 6$$ Получилось число 6, а это натуральное число. Значит, мы доказали, что значение выражения - натуральное число. 14. Допущение: Вода испаряется, и остаётся только сухое вещество фруктов. Сначала определим, сколько сухого вещества в свежих фруктах. Если свежие фрукты содержат 88% воды, то сухого вещества в них 100% - 88% = 12%. Теперь определим, сколько сухого вещества в высушенных фруктах. Если высушенные фрукты содержат 30% воды, то сухого вещества в них 100% - 30% = 70%. Пусть $x$ - это масса свежих фруктов, которая нужна. Тогда количество сухого вещества в свежих фруктах будет 0,12x. И это количество должно быть равно количеству сухого вещества в 72 кг высушенных фруктов, то есть 0,70 * 72 кг. Составим уравнение: $$0,12x = 0,70 \cdot 72$$ Решим уравнение, чтобы найти $x$: $$x = \frac{0,70 \cdot 72}{0,12} = \frac{50,4}{0,12} = 420$$ Значит, чтобы получить 72 кг высушенных фруктов, нужно 420 кг свежих фруктов. 15. Сократить дробь $\frac{(2x)^4 \cdot x^{-10}}{x^9 \cdot 5x^3}$ Сначала упростим числитель и знаменатель: Числитель: $(2x)^4 \cdot x^{-10} = 2^4 \cdot x^4 \cdot x^{-10} = 16 \cdot x^{4-10} = 16x^{-6}$ Знаменатель: $x^9 \cdot 5x^3 = 5 \cdot x^{9+3} = 5x^{12}$ Теперь сократим дробь: $\frac{16x^{-6}}{5x^{12}} = \frac{16}{5} \cdot x^{-6-12} = \frac{16}{5} \cdot x^{-18} = \frac{16}{5x^{18}}$ **Ответ:** 11. а) $y = \sqrt{x^2 - 2x}$ 12. а) $y = f(g(x)) = (|x| - 1)^2 - 2(|x| - 1) - 3$, $y = g(f(x)) = |x^2 - 2x - 3| - 1$ 13. Доказано 14. 420 кг 15. $\frac{16}{5x^{18}}$