Докажи, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC

a) Докажем, что если $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм. 1. $\angle BAC = \angle ACD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Значит, $AB \parallel CD$. 2. $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы также накрест лежащие при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Значит, $BC \parallel AD$. 3. Раз $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то по определению четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. б) Докажем, что если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то четырехугольник $ABCD$ - параллелограмм. 1. Пусть $AB \parallel CD$. Это значит, что $ABCD$ - трапеция. 2. В трапеции $ABCD$ углы при большем основании равны, $\angle A = \angle C$. Следовательно, трапеция $ABCD$ - параллелограмм. *Перевод:* a) Let's prove that if $\angle BAC = \angle ACD$ and $\angle BCA = \angle DAC$, then the quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram. 1. $\angle BAC = \angle ACD$. These angles are alternate interior angles at the lines $AB$ and $CD$ and the secant $AC$. Therefore, $AB \parallel CD$. 2. $\angle BCA = \angle DAC$. These angles are also alternate interior angles at the lines $BC$ and $AD$ and the secant $AC$. Therefore, $BC \parallel AD$. 3. Since $AB \parallel CD$ and $BC \parallel AD$, then by definition the quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram. b) Let's prove that if $AB \parallel CD$ and $\angle A = \angle C$, then the quadrilateral $ABCD$ is a parallelogram. 1. Let $AB \parallel CD$. This means that $ABCD$ is a trapezoid. 2. In the trapezoid $ABCD$, the angles at the larger base are equal, $\angle A = \angle C$. Therefore, the trapezoid $ABCD$ is a parallelogram.