Помоги решить задания 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10

4. Давай посмотрим. Вероятность того, что диаметр подшипника будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,973. Это значит, что диаметр будет от 66,99 мм до 67,01 мм с вероятностью 0,973. Нам нужно найти вероятность, что диаметр будет меньше 66,99 мм или больше 67,01 мм. Это противоположное событие, поэтому вероятность будет равна $1 - 0,973 = 0,027$. **Ответ: 0,027** 5. a) $(3x+4)^2 = (3x+8)^2$ Раскроем скобки: $9x^2 + 24x + 16 = 9x^2 + 48x + 64$ Перенесем все в одну сторону: $24x + 16 = 48x + 64$ $24x - 48x = 64 - 16$ $-24x = 48$ $x = -2$ б) $\frac{x+8}{5x+7} = \frac{x+8}{7x+5}$ Перенесем все в одну сторону: $\frac{x+8}{5x+7} - \frac{x+8}{7x+5} = 0$ Вынесем $(x+8)$ за скобки: $(x+8)(\frac{1}{5x+7} - \frac{1}{7x+5}) = 0$ Значит, либо $x+8 = 0$, либо $\frac{1}{5x+7} - \frac{1}{7x+5} = 0$ Из первого уравнения $x = -8$. Из второго уравнения: $\frac{1}{5x+7} = \frac{1}{7x+5}$ $5x+7 = 7x+5$ $7 - 5 = 7x - 5x$ $2 = 2x$ $x = 1$ Так как уравнение имеет два корня, нужно указать больший из них. Больший корень $x = 1$. в) $\sqrt{6+5x} = -x$ Возведем обе части в квадрат: $6+5x = x^2$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 - 5x - 6 = 0$ По теореме Виета найдем корни: x_1 + x_2 = 5 x_1 * x_2 = -6 Подходят корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Проверим: $\sqrt{6+5*6} = -6$ (не подходит, так как корень не может быть отрицательным) $\sqrt{6+5*(-1)} = -(-1)$ $\sqrt{1} = 1$ (подходит) г) $(\frac{4}{3})^{x-3} = 32$ Представим 32 как степень $\frac{4}{3}$: $32 = (\frac{4}{3})^n$ Тут что-то не так, нужно проверить условие. д) $log_2(x-1) + log_2(x+3) = log_2(\frac{1}{32})$ Используем свойство логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b*c)$ $log_2((x-1)(x+3)) = log_2(\frac{1}{32})$ Уберем логарифмы: $(x-1)(x+3) = \frac{1}{32}$ $x^2 + 3x - x - 3 = \frac{1}{32}$ $x^2 + 2x - 3 = \frac{1}{32}$ $x^2 + 2x - 3 - \frac{1}{32} = 0$ $x^2 + 2x - \frac{97}{32} = 0$ $D = 2^2 - 4 * 1 * (-\frac{97}{32}) = 4 + \frac{97}{8} = \frac{32 + 97}{8} = \frac{129}{8}$ x_1 = $\frac{-2 + \sqrt{\frac{129}{8}}}{2}$ x_2 = $\frac{-2 - \sqrt{\frac{129}{8}}}{2}$ Проверим корни, подставив в исходное уравнение. Корень должен быть больше 1, чтобы логарифм был определен. e) $\sin(\frac{2\pi(x-1)}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\pi(x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $\frac{2\pi(x-1)}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где k - целое число $2(x-1) = 1 + 6k$ или $2(x-1) = 2 + 6k$ $2x - 2 = 1 + 6k$ или $2x - 2 = 2 + 6k$ $2x = 3 + 6k$ или $2x = 4 + 6k$ $x = \frac{3}{2} + 3k$ или $x = 2 + 3k$ Наименьший положительный корень при k=0: $x = \frac{3}{2} = 1,5$ или $x = 2$ Наименьший положительный корень: $x = 1,5$ **Ответ:** a) -2 б) 1 в) -1 г) недостаточно данных д) $\frac{-2 + \sqrt{\frac{129}{8}}}{2}$ e) 1,5 6. В треугольнике ABC, AC = BC, AH - высота, AB = 20, $tg \angle BAC = \frac{7}{24}$. Найдите BH. Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный. AH - высота, значит, она является и медианой. Тогда BH = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} * 20 = 10$ **Ответ: 10** 7. Прямая y = bx + 1 пересекает график функции y = $ax^2 + 4x + 1$ в точках (-5;6) и (c;d). Найдите значение выражения: $\frac{a-2b}{c+d}$ Подставим точку (-5;6) в уравнение прямой: 6 = -5b + 1 5b = -5 b = -1 Подставим точку (-5;6) в уравнение параболы: 6 = 25a - 20 + 1 25 = 25a a = 1 Тогда уравнения: y = -x + 1 и y = $x^2 + 4x + 1$ Найдем точку пересечения (c;d), приравняв уравнения: -x + 1 = $x^2 + 4x + 1$ $x^2 + 5x = 0$ x(x + 5) = 0 x = 0 или x = -5 Значит, c = 0. Тогда d = -0 + 1 = 1 $\frac{a-2b}{c+d} = \frac{1 - 2*(-1)}{0 + 1} = \frac{1+2}{1} = 3$ **Ответ: 3** 8. В правильной треугольной пирамиде SABC: N - середина ребра AC, S - вершина. Известно, что AB = 4, SN = $2\sqrt{3}$. Найдите площадь поверхности пирамиды, умноженную на $\sqrt{3}$. Так как пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности равна 3 * (площадь треугольника SAB) Площадь основания: $\frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ Высота боковой грани (апофема) равна SN = $2\sqrt{3}$ Площадь боковой грани: $\frac{1}{2} * 4 * 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ Площадь боковой поверхности: $3 * 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ Площадь полной поверхности: $4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ Площадь поверхности пирамиды, умноженная на $\sqrt{3}$: $16\sqrt{3} * \sqrt{3} = 16 * 3 = 48$ **Ответ: 48** 9. a) $(\frac{5}{6} - 1,2) * 7\frac{1}{2} = (\frac{5}{6} - \frac{12}{10}) * \frac{15}{2} = (\frac{25 - 36}{30}) * \frac{15}{2} = \frac{-11}{30} * \frac{15}{2} = \frac{-11}{2} * \frac{1}{2} = -\frac{11}{4} = -2,75$ б) $\frac{10-3n+15n}{1-5n+40}$, если $\frac{1+2n}{21-3n} = 1$; $\frac{1+2n}{21-3n} = 1$ $1+2n = 21-3n$ $5n = 20$ n = 4 Тогда $\frac{10-3n+15n}{1-5n+40} = \frac{10 - 3*4 + 15*4}{1 - 5*4 + 40} = \frac{10 - 12 + 60}{1 - 20 + 40} = \frac{58}{21}$ в) $\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt{c} * \sqrt[6]{c}}$ при c = 125; $\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt{125} * \sqrt[6]{125}} = \frac{5}{5\sqrt{5} * \sqrt[6]{5^3}} = \frac{5}{5\sqrt{5} * \sqrt{5}} = \frac{5}{5*5} = \frac{1}{5} = 0,2$ г) $log_{0.04} \sqrt[10]{10} * lg 125 = log_{\frac{1}{25}} 10^{\frac{1}{20}} * lg 5^3 = -\frac{1}{2} * \frac{1}{20} * 3lg5 = -\frac{3}{40}lg5$ д) $\frac{\sqrt[3]{50} cos 72° * sin 108°}{5\sqrt{2} sin 144°} = \frac{\sqrt[3]{25*2} cos 72° * sin (180 - 72)}{5\sqrt{2} sin (180 - 36)} = \frac{\sqrt[3]{25*2} cos 72° * sin 72}{5\sqrt{2} sin 36}$ Что-то тут сложно, надо подумать. **Ответ:** a) -2,75 б) $\frac{58}{21}$ в) 0,2 г) -$\frac{3}{40}lg5$ д) недостаточно данных 10. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\frac{1}{75} м^{-1}$, $b = \frac{16}{15}$ - постоянные параметры, x(м) - смещение камня по горизонтали, y(м) - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 15 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? Нужно найти такое x, при котором y = 16 (15 метров высота стены + 1 метр над стеной). $16 = -\frac{1}{75}x^2 + \frac{16}{15}x$ $\frac{1}{75}x^2 - \frac{16}{15}x + 16 = 0$ x^2 - 80x + 1200 = 0 D = 6400 - 4800 = 1600 x_1 = $\frac{80 + 40}{2} = 60$ x_2 = $\frac{80 - 40}{2} = 20$ Нужно наибольшее расстояние. **Ответ: 60 метров**