Объясни, как сократить дробь 24a⁶b⁴/16a³b⁷.

## Задание 2. Сократите дробь $\frac{24a^6b^4}{16a^3b^7}$: Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их общие множители. В данном случае, это числа и переменные с наименьшими степенями. 1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$. 2. Сокращаем переменные $a$: $\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$. 3. Сокращаем переменные $b$: $\frac{b^4}{b^7} = \frac{1}{b^{7-4}} = \frac{1}{b^3}$. Объединяем все вместе: $$\frac{24a^6b^4}{16a^3b^7} = \frac{3a^3}{2b^3}$$ **Ответ: $\frac{3a^3}{2b^3}$** ## Задание 2. Сократите дробь $\frac{15x - 10xy}{5xy}$: 1. Выносим общий множитель в числителе: $15x - 10xy = 5x(3 - 2y)$. 2. Записываем дробь с вынесенным множителем: $\frac{5x(3 - 2y)}{5xy}$. 3. Сокращаем дробь, делим числитель и знаменатель на $5x$: $\frac{5x(3 - 2y)}{5xy} = \frac{3 - 2y}{y}$. **Ответ: $\frac{3-2y}{y}$** ## Задание 2. Сократите дробь $\frac{m^2 - 4}{2m - 4}$: 1. Разложим числитель, используя формулу разности квадратов: $m^2 - 4 = (m - 2)(m + 2)$. 2. Вынесем общий множитель в знаменателе: $2m - 4 = 2(m - 2)$. 3. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{(m - 2)(m + 2)}{2(m - 2)}$. 4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $(m - 2)$: $\frac{(m - 2)(m + 2)}{2(m - 2)} = \frac{m + 2}{2}$. **Ответ: $\frac{m+2}{2}$** ## Задание 2. Сократите дробь $\frac{25 - a^2}{a^2 - 10a + 25}$: 1. Разложим числитель, используя формулу разности квадратов: $25 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$. 2. Разложим знаменатель, используя формулу квадрата разности: $a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 = (a - 5)(a - 5)$. 3. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем: $\frac{(5 - a)(5 + a)}{(a - 5)(a - 5)}$. 4. Заметим, что $(5 - a) = -(a - 5)$, поэтому можем сократить дробь: $$\frac{(5 - a)(5 + a)}{(a - 5)(a - 5)} = \frac{-(a - 5)(5 + a)}{(a - 5)(a - 5)} = -\frac{5 + a}{a - 5} = -\frac{a + 5}{a - 5}$$ **Ответ: $-\frac{a+5}{a-5}$ или $\frac{a+5}{5-a}$** ## Задание 3. Выполните вычитание $\frac{x-8}{4x^2} - \frac{5-12x}{6x^3}$: 1. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{x-8}{4x^2}$ и $\frac{5-12x}{6x^3}$. Общий знаменатель будет $12x^3$. 2. Приведем дроби к общему знаменателю: * Для первой дроби: $\frac{x-8}{4x^2} = \frac{(x-8) \cdot 3x}{4x^2 \cdot 3x} = \frac{3x^2 - 24x}{12x^3}$. * Для второй дроби: $\frac{5-12x}{6x^3} = \frac{(5-12x) \cdot 2}{6x^3 \cdot 2} = \frac{10 - 24x}{12x^3}$. 3. Выполним вычитание: $$\frac{3x^2 - 24x}{12x^3} - \frac{10 - 24x}{12x^3} = \frac{3x^2 - 24x - (10 - 24x)}{12x^3} = \frac{3x^2 - 24x - 10 + 24x}{12x^3} = \frac{3x^2 - 10}{12x^3}$$ **Ответ: $\frac{3x^2-10}{12x^3}$** ## Задание 3. Выполните вычитание $\frac{20}{a^2 + 4a} - \frac{5}{a}$: 1. Разложим знаменатель первой дроби: $a^2 + 4a = a(a + 4)$. 2. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + 4)$: * Первая дробь: $\frac{20}{a(a + 4)}$. * Вторая дробь: $\frac{5}{a} = \frac{5(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{5a + 20}{a(a + 4)}$. 3. Выполним вычитание: $$\frac{20}{a(a + 4)} - \frac{5a + 20}{a(a + 4)} = \frac{20 - (5a + 20)}{a(a + 4)} = \frac{20 - 5a - 20}{a(a + 4)} = \frac{-5a}{a(a + 4)} = \frac{-5}{a + 4}$$ **Ответ: $\frac{-5}{a+4}$** ## Задание 3. Выполните вычитание $\frac{m^2}{m^2 - 9} - \frac{m}{m + 3}$: 1. Разложим знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $m^2 - 9 = (m - 3)(m + 3)$. 2. Приведем дроби к общему знаменателю $(m - 3)(m + 3)$: * Первая дробь: $\frac{m^2}{(m - 3)(m + 3)}$. * Вторая дробь: $\frac{m}{m + 3} = \frac{m(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)} = \frac{m^2 - 3m}{(m - 3)(m + 3)}$. 3. Выполним вычитание: $$\frac{m^2}{(m - 3)(m + 3)} - \frac{m^2 - 3m}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{m^2 - (m^2 - 3m)}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{m^2 - m^2 + 3m}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{3m}{(m - 3)(m + 3)}$$ **Ответ: $\frac{3m}{(m-3)(m+3)}$** ## Задание 3. Выполните вычитание $2p - \frac{14p^2}{7p + 3}$: 1. Представим $2p$ как дробь со знаменателем $1$: $2p = \frac{2p}{1}$. 2. Приведем дроби к общему знаменателю $(7p + 3)$: * Первая дробь: $\frac{2p}{1} = \frac{2p(7p + 3)}{7p + 3} = \frac{14p^2 + 6p}{7p + 3}$. * Вторая дробь: $\frac{14p^2}{7p + 3}$. 3. Выполним вычитание: $$\frac{14p^2 + 6p}{7p + 3} - \frac{14p^2}{7p + 3} = \frac{14p^2 + 6p - 14p^2}{7p + 3} = \frac{6p}{7p + 3}$$ **Ответ: $\frac{6p}{7p+3}$** ## Задание 2. Упростите выражение $\frac{2a}{a-2} + \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2}$: 1. Упростим вторую дробь: $$\frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2} = \frac{a+7}{4(2-a)} \cdot \frac{32}{a(7+a)} = \frac{a+7}{4(2-a)} \cdot \frac{32}{a(a+7)} = \frac{32}{4a(2-a)} = \frac{8}{a(2-a)}$$ 2. Выразим первую дробь с противоположным знаком в знаменателе: $$\frac{2a}{a-2} = -\frac{2a}{2-a}$$ 3. Сложим дроби: $$-\frac{2a}{2-a} + \frac{8}{a(2-a)} = \frac{-2a^2 + 8}{a(2-a)} = \frac{-2(a^2 - 4)}{a(2-a)} = \frac{-2(a - 2)(a + 2)}{a(2-a)} = \frac{2(a - 2)(a + 2)}{a(a - 2)} = \frac{2(a + 2)}{a}$$ **Ответ: $\frac{2(a+2)}{a}$** ## Задание 2. Упростите выражение $\left( \frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} \right) : \frac{2a}{1-a^2}$: 1. Упростим выражение в скобках: $$\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{(a+1)(a-1)} = \frac{-4a}{(a+1)(a-1)}$$ 2. Преобразуем деление в умножение: $$\frac{-4a}{(a+1)(a-1)} : \frac{2a}{1-a^2} = \frac{-4a}{(a+1)(a-1)} \cdot \frac{1-a^2}{2a} = \frac{-4a}{(a+1)(a-1)} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{2a}$$ 3. Сократим выражение: $$\frac{-4a}{(a+1)(a-1)} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{2a} = \frac{-4a}{-(1-a)(1+a)} \cdot \frac{(1-a)(1+a)}{2a} = \frac{-4a}{2a} \cdot (-1) = 2$$ **Ответ: 2**