Реши уравнения в номере 5

5. Решим уравнения. a) $(3x+4)^2 = (3x+8)^2$: Вычислим квадраты с обеих сторон: $$9x^2 + 24x + 16 = 9x^2 + 48x + 64$$ Приведём подобные члены и упростим уравнение: $$24x + 16 = 48x + 64$$ $$-24x = 48$$ $$x = -2$$ б) $\frac{x+8}{5x+7} = \frac{x+8}{7x+5}$: Перенесём все члены в одну сторону: $$\frac{x+8}{5x+7} - \frac{x+8}{7x+5} = 0$$ Вынесем $(x+8)$ за скобки: $$(x+8) \left( \frac{1}{5x+7} - \frac{1}{7x+5} \right) = 0$$ Получаем два случая: 1) $x+8 = 0 \Rightarrow x = -8$ 2) $\frac{1}{5x+7} = \frac{1}{7x+5} \Rightarrow 5x+7 = 7x+5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ Так как уравнение имеет более одного корня, то больший корень $x = 1$. г) $\left( \frac{1}{4} \right)^{x-3} = 32$: Преобразуем обе части уравнения к степени числа 2: $$(2^{-2})^{x-3} = 2^5$$ $$2^{-2x+6} = 2^5$$ Приравняем показатели: $$-2x + 6 = 5$$ $$-2x = -1$$ $$x = \frac{1}{2}$$ д) $\log_2(x-1) + \log_2(x+3) = \log_2 \frac{1}{32}$: Преобразуем правую часть уравнения: $$\log_2 \frac{1}{32} = \log_2 2^{-5} = -5$$ Используем свойство логарифмов для суммы: $$\log_2((x-1)(x+3)) = -5$$ Избавимся от логарифма: $$(x-1)(x+3) = 2^{-5}$$ $$x^2 + 2x - 3 = \frac{1}{32}$$ $$x^2 + 2x - 3 - \frac{1}{32} = 0$$ $$x^2 + 2x - \frac{97}{32} = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot \frac{97}{32}}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + \frac{97}{8}}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{\frac{32 + 97}{8}}}{2}$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{\frac{129}{8}}}{2}$$ Извлечём корень: $$x = \frac{-2 \pm \frac{\sqrt{258}}{4}}{2}$$ $$x = -1 \pm \frac{\sqrt{258}}{8}$$ Вычислим корни: $$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{258}}{8} \approx 1.02$$ $$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{258}}{8} \approx -3.02$$ Учтём ОДЗ: $x > 1$, значит, подходит только $x \approx 1.02$. e) $\sin \frac{2\pi(x-1)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\frac{2\pi(x-1)}{3} = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{2\pi(x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$2\pi(x-1) = \pi + 6\pi k$$ $$2(x-1) = 1 + 6k$$ $$2x - 2 = 1 + 6k$$ $$2x = 3 + 6k$$ $$x = \frac{3}{2} + 3k$$ Наименьший положительный корень при $k = 0$: $$x = \frac{3}{2} = 1.5$$ Теперь рассмотрим другой случай: $$\frac{2\pi(x-1)}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$2\pi(x-1) = 2\pi + 6\pi k$$ $$2(x-1) = 2 + 6k$$ $$2x - 2 = 2 + 6k$$ $$2x = 4 + 6k$$ $$x = 2 + 3k$$ Наименьший положительный корень при $k = 0$: $$x = 2$$ Выбираем наименьший положительный корень: $x = 1.5$ **Ответ:** a) -2 б) 1 г) 1/2 д) 1.02 e) 1.5