Выполни задания из упражнений по математике: определи иррациональные числа, десятичные приближения, упрости выражения и сравни числовые значения

6. Чтобы определить, какие из десятичных дробей являются иррациональными числами, нужно понимать, что иррациональные числа - это те, которые нельзя представить в виде дроби, где числитель и знаменатель - целые числа. У них бесконечное непериодическое расширение после запятой. * 16,9 — рациональное число, так как это $169/10$. * 7,25(4) — рациональное число, так как это периодическая дробь. * 1,21221222... — иррациональное число, так как последовательность цифр после запятой непериодическая. * 99,1357911... — иррациональное число, так как последовательность цифр после запятой непериодическая. **Ответ:** Иррациональными являются 1,21221222... и 99,1357911... 7. Чтобы установить, какая из пар чисел образует десятичные приближения числа $\sqrt{31}$ с недостатком и избытком, нужно знать, что $\sqrt{31}$ примерно равно 5,5677. * 5,4 и 5,5 — оба меньше $\sqrt{31}$, значит, не подходят. * 5,5 и 5,6 — 5,5 меньше $\sqrt{31}$ (недостаток), а 5,6 больше $\sqrt{31}$ (избыток). **Ответ:** 5,5 и 5,6 8. Чтобы определить, какое из равенств $|x| = x$ или $|x| = -x$ является верным, нужно понимать, что $|x| = x$, если $x$ неотрицательное число, и $|x| = -x$, если $x$ отрицательное число. * $x = 5 - \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{7}$ примерно 2,65, то $x$ положительное число. Значит, $|x| = x$. * $x = 4 - 3\sqrt{3}$. Так как $3\sqrt{3}$ примерно 5,2, то $x$ отрицательное число. Значит, $|x| = -x$. * $x = 5 - \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10}$ примерно 3,16, то $x$ положительное число. Значит, $|x| = x$. **Ответ:** 1) $|x| = x$; 2) $|x| = -x$; 3) $|x| = x$. 9. Чтобы выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения, нужно упростить каждое выражение. * $(\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = 4 \cdot 2 - 9 = -1$. Рациональное число. * $(\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = (3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) = 4 - 9 \cdot 3 = -23$. Рациональное число. * $(\sqrt{50} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} \sqrt{2} = 18$. Рациональное число. * $(5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} = (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) : \sqrt{3} = 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8$. Рациональное число. * $(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + (3 + 2\sqrt{3} + 1) = 8$. Рациональное число. * $(\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2 = (5 - 2\sqrt{5} + 1) - (4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5} = -15 - 6\sqrt{5}$. Иррациональное число. **Ответ:** 1) Рациональное; 2) Рациональное; 3) Рациональное; 4) Рациональное; 5) Рациональное; 6) Иррациональное. 10. Чтобы вычислить, нужно упростить каждое выражение. * $\sqrt{63} \cdot \sqrt{28} = \sqrt{9 \cdot 7} \cdot \sqrt{4 \cdot 7} = 3 \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7} = 6 \cdot 7 = 42$. * $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$. * $\sqrt{50} : \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} : \sqrt{4 \cdot 2} = 5 \sqrt{2} : 2 \sqrt{2} = 5/2 = 2,5$. * $\sqrt{12} : \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} : \sqrt{9 \cdot 3} = 2 \sqrt{3} : 3 \sqrt{3} = 2/3$. **Ответ:** 1) 42; 2) 10; 3) 2,5; 4) 2/3. 11. Чтобы сравнить числовые значения выражений, нужно оценить каждое выражение. * $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ и $1,1 + \sqrt{17}$. \ $\sqrt{3,9}$ чуть меньше 2, $\sqrt{8}$ примерно 2,8. Значит, $\sqrt{3,9} + \sqrt{8}$ примерно 4,8. $\sqrt{17}$ чуть больше 4, значит, $1,1 + \sqrt{17}$ примерно 5,1. Значит, $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < 1,1 + \sqrt{17}$. * $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ и $\sqrt{10} - 3,1$. \$\sqrt{11}$ примерно 3,3, $\sqrt{2,1}$ примерно 1,4. Значит, $\sqrt{11} - \sqrt{2,1}$ примерно 1,9. $\sqrt{10}$ примерно 3,16, значит, $\sqrt{10} - 3,1$ примерно 0,06. Значит, $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - 3,1$. **Ответ:** 1) $\sqrt{3,9} + \sqrt{8} < 1,1 + \sqrt{17}$; 2) $\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - 3,1$. 12. Чтобы вычислить, нужно упростить каждое выражение. * $\sqrt{(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$. * $\sqrt{(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{(3 - \sqrt{7} + \sqrt{7}) \cdot 3} = \sqrt{3 \cdot 3} = 3$. * $\sqrt{(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}) \cdot 2} + 7 = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})) \cdot 2} + 7 = \sqrt{2\sqrt{3} \cdot 2} + 7 = \sqrt{4\sqrt{3}} + 7 = 2\sqrt[4]{3} + 7$. **Ответ:** 1) $\sqrt{10}$; 2) 3; 3) $2\sqrt[4]{3} + 7$.