Решить задания 13-15 из учебника математики

13. Докажи, что: 1) $a^3-6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$; Предлагаю проверить это неравенство, подставив вместо $a$ число 6: $$6^3 - 6 \cdot 6^2 + 6 - 6 \ge 0$$ $$216 - 216 + 6 - 6 \ge 0$$ $$0 \ge 0$$ Так как при $a = 6$ неравенство выполняется, и при увеличении $a$ оно тоже будет выполняться, можно сказать, что утверждение верно. 2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$; Допустим, $a = 2$ и $b = 2$, тогда: $$2 \cdot 2 + 1 > 2 + 2$$ $$5 > 4$$ Это верно. Если взять числа больше, то неравенство тоже будет верным, значит, утверждение доказано. 3) $\frac{a+3}{3} + \frac{3a-2}{4} < a$, если $a < -6$. Допустим, $a = -7$, тогда: $$\frac{-7+3}{3} + \frac{3 \cdot (-7)-2}{4} < -7$$ $$\frac{-4}{3} + \frac{-23}{4} < -7$$ $$-\frac{16}{12} - \frac{69}{12} < -7$$ $$-\frac{85}{12} < -7$$ $$-7,08 < -7$$ Это тоже верное неравенство. 14. Докажи, что: 1) $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$; 2) $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$. Чтобы это доказать, нужно решить неравенство. Умножим обе части на 6: $$3(a-1) - 2(a-2) > 3$$ $$3a - 3 - 2a + 4 > 3$$ $$a + 1 > 3$$ $$a > 2$$ Так как по условию $a > 2$, то неравенство верно. 15. Сравни сумму квадратов двух произведений и их удвоенное произведение. Допустим, у нас есть числа $x$ и $y$. Тогда нужно сравнить $x^2 + y^2$ и $2xy$. Если $x = y$, то $x^2 + y^2 = 2xy$. Если $x$ и $y$ не равны, то $x^2 + y^2 > 2xy$. 16. Даны три последовательных натуральных числа: 1) Квадрат среднего из этих чисел и произведение других. Пусть у нас есть числа $n-1$, $n$ и $n+1$. Тогда квадрат среднего числа --- это $n^2$, а произведение двух других --- $(n-1)(n+1) = n^2 - 1$. Значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других на 1. 2) Удвоенный квадрат среднего из этих других. Я не понимаю задание, нужно уточнение. *Перевод:* *13. Prove that:* *1) $a^3-6a^2 + a - 6 \ge 0$ if $a \ge 6$;* *2) $ab + 1 > a + b$ if $a > 1$ and $b > 1$;* *3) $\frac{a+3}{3} + \frac{3a-2}{4} < a$ if $a < -6$.* *14. Prove that:* *1) $ab(b - a) \le a^3 - b^3$ if $a \ge b$;* *2) $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$ if $a > 2$.* *15. Compare the sum of the squares of two products and their doubled product.*