Помоги мне найти точки экстремума заданной функции и определить их характер в задании 030.26 а.

Давай найдем точки экстремума для каждой функции. Это такие точки, где функция меняет направление (с возрастания на убывание или наоборот). а) $y = 7 + 12x - x^3$ * Находим первую производную: $y' = 12 - 3x^2$ * Приравниваем её к нулю: $12 - 3x^2 = 0$. Получаем $x^2 = 4$, значит $x = 2$ и $x = -2$. * Находим вторую производную: $y'' = -6x$ * Определяем знаки второй производной в точках $x = 2$ и $x = -2$: * $y''(2) = -6 \cdot 2 = -12$ (отрицательная, значит, $x = 2$ - точка максимума). * $y''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12$ (положительная, значит, $x = -2$ - точка минимума). б) $y = 8 + 2x^2 - x^4$ * Находим первую производную: $y' = 4x - 4x^3$ * Приравниваем к нулю: $4x - 4x^3 = 0$. Выносим $4x$ за скобки: $4x(1 - x^2) = 0$. Значит, $x = 0$, $x = 1$ и $x = -1$. * Находим вторую производную: $y'' = 4 - 12x^2$ * Определяем знаки второй производной в точках $x = 0, 1, -1$: * $y''(0) = 4 - 12 \cdot 0^2 = 4$ (положительная, значит, $x = 0$ - точка минимума). * $y''(1) = 4 - 12 \cdot 1^2 = -8$ (отрицательная, значит, $x = 1$ - точка максимума). * $y''(-1) = 4 - 12 \cdot (-1)^2 = -8$ (отрицательная, значит, $x = -1$ - точка максимума). в) $y = 3x^3 + 2x^2 - 7$ * Находим первую производную: $y' = 9x^2 + 4x$ * Приравниваем к нулю: $9x^2 + 4x = 0$. Выносим $x$ за скобки: $x(9x + 4) = 0$. Значит, $x = 0$ и $x = -4/9$. * Находим вторую производную: $y'' = 18x + 4$ * Определяем знаки второй производной в точках $x = 0$ и $x = -4/9$: * $y''(0) = 18 \cdot 0 + 4 = 4$ (положительная, значит, $x = 0$ - точка минимума). * $y''(-4/9) = 18 \cdot (-4/9) + 4 = -8 + 4 = -4$ (отрицательная, значит, $x = -4/9$ - точка максимума). г) $y = x^4 - 8x^2$ * Находим первую производную: $y' = 4x^3 - 16x$ * Приравниваем к нулю: $4x^3 - 16x = 0$. Выносим $4x$ за скобки: $4x(x^2 - 4) = 0$. Значит, $x = 0$, $x = 2$ и $x = -2$. * Находим вторую производную: $y'' = 12x^2 - 16$ * Определяем знаки второй производной в точках $x = 0, 2, -2$: * $y''(0) = 12 \cdot 0^2 - 16 = -16$ (отрицательная, значит, $x = 0$ - точка максимума). * $y''(2) = 12 \cdot 2^2 - 16 = 48 - 16 = 32$ (положительная, значит, $x = 2$ - точка минимума). * $y''(-2) = 12 \cdot (-2)^2 - 16 = 48 - 16 = 32$ (положительная, значит, $x = -2$ - точка минимума).