Реши, составив математическую модель, задачу про теплоход, который прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найди собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч, а также задачу про международные соревнования по прыжкам в воду.

Задание 4: Пусть $x$ - собственная скорость теплохода. Тогда скорость по течению равна $x + 6.5$, а против течения $x - 6.5$. Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{4}{x - 6.5}$, а время на путь по течению равно $\frac{33}{x + 6.5}$. Общее время равно 1 часу, поэтому получаем уравнение: $$\frac{4}{x - 6.5} + \frac{33}{x + 6.5} = 1$$ Умножаем обе части на $(x - 6.5)(x + 6.5)$: $$4(x + 6.5) + 33(x - 6.5) = (x - 6.5)(x + 6.5)$$ $$4x + 26 + 33x - 214.5 = x^2 - 42.25$$ $$37x - 188.5 = x^2 - 42.25$$ $$x^2 - 37x + 146.25 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146.25 = 1369 - 585 = 784$ $x_1 = \frac{37 + \sqrt{784}}{2} = \frac{37 + 28}{2} = \frac{65}{2} = 32.5$ $x_2 = \frac{37 - \sqrt{784}}{2} = \frac{37 - 28}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ Так как скорость теплохода не может быть меньше скорости течения реки (6,5 км/ч), то $x = 32.5$ км/ч. **Ответ: 32,5 км/ч** Задание 6: Разберём предположения экспертов: 1) Если первое место занимает Китай, а Украина третья, то это значит, что эксперт прав только в одном. 2) Если Украина последняя, а Германия предпоследняя, то эксперт прав только в одном. 3) Если Германия четвёртая, а Китай первый, то эксперт прав только в одном. 4) Если Россия первая, а Италия вторая, то эксперт прав только в одном. 5) Если Италия пятая, а Германия победила, то эксперт прав только в одном. Составим таблицу: \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Место & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Страна & Россия & Италия & Украина & Германия & Китай \\ \hline \end{tabular} Проверим: 1) Китай - 5 место, Украина - 3 место. Эксперт прав. 2) Украина - 3 место, Германия - 4 место. Эксперт не прав. 3) Германия - 4 место, Китай - 5 место. Эксперт прав. 4) Россия - 1 место, Италия - 2 место. Эксперт прав. 5) Италия - 2 место, Германия - 4 место. Эксперт не прав. Составим другую таблицу: \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Место & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Страна & Китай & Россия & Украина & Германия & Италия \\ \hline \end{tabular} Проверим: 1) Китай - 1 место, Украина - 3 место. Эксперт прав. 2) Украина - 3 место, Германия - 4 место. Эксперт прав. 3) Германия - 4 место, Китай - 1 место. Эксперт прав. 4) Россия - 2 место, Италия - 5 место. Эксперт не прав. 5) Италия - 5 место, Германия - 4 место. Эксперт прав. **Ответ:** 1 - Китай 2 - Россия 3 - Украина 4 - Германия 5 - Италия