Реши задачу 591 а) Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC=8, AB=17

Задание 591. a) Давай найдем синус, косинус и тангенс углов A и B в треугольнике ABC с прямым углом C, если BC = 8 и AB = 17. Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Чтобы найти AC, используем теорему Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла A: $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$ $tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$ Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла B: $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$ $cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$ $tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$ б) Давай найдем синус, косинус и тангенс углов A и B в треугольнике ABC с прямым углом C, если BC = 21 и AB = 25. Чтобы найти AC, используем теорему Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 21^2} = \sqrt{625 - 441} = \sqrt{184} = \sqrt{4*46} = 2\sqrt{46}$. Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла A: $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{25}$ $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{46}}{25}$ $tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{2\sqrt{46}}$ Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла B: $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{46}}{25}$ $cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{25}$ $tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{46}}{21}$ в) Давай найдем синус, косинус и тангенс углов A и B в треугольнике ABC с прямым углом C, если BC = 1 и AC = 2. Чтобы найти AB, используем теорему Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла A: $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$ Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла B: $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2$ г) Давай найдем синус, косинус и тангенс углов A и B в треугольнике ABC с прямым углом C, если AC = 24 и AB = 25. Чтобы найти BC, используем теорему Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$. Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла A: $sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$ $cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ $tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24}$ Теперь найдем синус, косинус и тангенс для угла B: $sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$ $cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$ $tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7}$ Задание 592. а) Чтобы построить угол $\alpha$, если $tg \alpha = \frac{1}{2}$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\frac{1}{2}$. Например, катет против угла $\alpha$ равен 1, а катет рядом с углом $\alpha$ равен 2. б) Чтобы построить угол $\alpha$, если $tg \alpha = \frac{3}{4}$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение противолежащего катета к прилежащему равно $\frac{3}{4}$. Например, катет против угла $\alpha$ равен 3, а катет рядом с углом $\alpha$ равен 4. в) Чтобы построить угол $\alpha$, если $cos \alpha = 0,2$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно 0,2. Например, прилежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 5. г) Чтобы построить угол $\alpha$, если $cos \alpha = \frac{2}{3}$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $\frac{2}{3}$. Например, прилежащий катет равен 2, а гипотенуза равна 3. д) Чтобы построить угол $\alpha$, если $sin \alpha = \frac{1}{2}$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $\frac{1}{2}$. Например, противолежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 2. Это угол 30 градусов. е) Чтобы построить угол $\alpha$, если $sin \alpha = 0,4$, можно воспользоваться прямоугольным треугольником, где отношение противолежащего катета к гипотенузе равно 0,4. Например, противолежащий катет равен 2, а гипотенуза равна 5. Задание 593. а) Дано: $cos \alpha = \frac{1}{2}$. Нужно найти $sin \alpha$ и $tg \alpha$. Мы знаем, что $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение $cos \alpha$: $sin^2 \alpha + (\frac{1}{2})^2 = 1$ $sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1$ $sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}$ $sin^2 \alpha = \frac{3}{4}$ $sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}}$ $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Теперь найдем $tg \alpha$: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ б) Дано: $sin \alpha = \frac{1}{4}$. Нужно найти $cos \alpha$ и $tg \alpha$. Мы знаем, что $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение $sin \alpha$: $(\frac{1}{4})^2 + cos^2 \alpha = 1$ $\frac{1}{16} + cos^2 \alpha = 1$ $cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16}$ $cos^2 \alpha = \frac{15}{16}$ $cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}}$ $cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ Теперь найдем $tg \alpha$: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$ в) Допущение: в условии задания опечатка. Необходимо найти $cos \alpha$ и $tg \alpha$, если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение $sin \alpha$: $(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + cos^2 \alpha = 1$ $\frac{3}{4} + cos^2 \alpha = 1$ $cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4}$ $cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$ $cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}}$ $cos \alpha = \frac{1}{2}$ Теперь найдем $tg \alpha$: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ г) Допущение: в условии задания опечатка. Необходимо найти $cos \alpha$ и $tg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{2}{3}$. Мы знаем, что $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Подставим известное значение $cos \alpha$: $sin^2 \alpha + (\frac{2}{3})^2 = 1$ $sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1$ $sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9}$ $sin^2 \alpha = \frac{5}{9}$ $sin \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}}$ $sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ Теперь найдем $tg \alpha$: $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}