Помоги мне решить уравнение 2+2cos (π-2x)+√8 sinx = √6+√12 sinx

Тут надо решить тригонометрическое уравнение. Вот решение: $$2 + 2 \cos(\pi - 2x) + \sqrt{8} \sin(x) = \sqrt{6} + \sqrt{12} \sin(x)$$ $$2 + 2 \cos(\pi - 2x) + 2\sqrt{2} \sin(x) = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin(x)$$ Используем формулу приведения $\cos(\pi - 2x) = -\cos(2x)$: $$2 - 2 \cos(2x) + 2\sqrt{2} \sin(x) = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin(x)$$ Используем формулу двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$: $$2 - 2(1 - 2\sin^2(x)) + 2\sqrt{2} \sin(x) = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin(x)$$ $$2 - 2 + 4\sin^2(x) + 2\sqrt{2} \sin(x) = \sqrt{6} + 2\sqrt{3} \sin(x)$$ $$4\sin^2(x) + 2\sqrt{2} \sin(x) - 2\sqrt{3} \sin(x) - \sqrt{6} = 0$$ $$4\sin^2(x) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) \sin(x) - \sqrt{6} = 0$$ Пусть $y = \sin(x)$, тогда уравнение примет вид: $$4y^2 + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})y - \sqrt{6} = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (2\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{6}) = 4(2 - 2\sqrt{6} + 3) + 16\sqrt{6} = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6}$$ $$y_1 = \frac{-(2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) + \sqrt{20 + 8\sqrt{6}}}{8} = \frac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}{8} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}{4}$$ $$y_2 = \frac{-(2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) - \sqrt{20 + 8\sqrt{6}}}{8} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}{4}$$ Выражение $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ можно упростить, заметив, что $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$, тогда $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$. $$y_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y_2 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Теперь найдем значения $x$: 1) $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$