Выполни задания 2.85-2.94 и задание из раздела "Проверьте себя" под номером 1

2. 85 a) Чтобы найти НОД (наибольший общий делитель) чисел $a$ и $b$, когда они разложены на простые множители, нужно взять общие множители в наименьшей степени и перемножить их. $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ $b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$ Общий множитель у них только $2$ и $3$. У числа $a$ двойка встречается дважды, а у числа $b$ – один раз. Значит, берем двойку один раз. У числа $a$ тройка встречается дважды, а у числа $b$ – один раз. Значит, берем тройку один раз. НОД$(a, b) = 2 \cdot 3 = 6$ б) Снова ищем общие множители в наименьшей степени. $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$ $b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ Общие множители – это $3$, $5$. У числа $a$ тройка встречается дважды, а у числа $b$ – один раз. Значит, берем тройку один раз. У числа $a$ пятерка встречается трижды, а у числа $b$ – два раза. Значит, берем пятерку два раза. НОД$(a, b) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ 2. 86 a) Чтобы найти наибольший общий делитель чисел 975 и 750, разложим их на простые множители: $975 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13$ $750 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ Общие множители – это $3$, $5$ (два раза). Значит, НОД$(975, 750) = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ б) Разложим 572 и 440 на простые множители: $572 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 13$ $440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$ Общие множители – это $2$ (два раза) и $11$. Значит, НОД$(572, 440) = 2 \cdot 2 \cdot 11 = 44$ в) Разложим 80, 140 и 56 на простые множители: $80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ $140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7$ $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$ Общие множители – это $2$ (два раза). Значит, НОД$(80, 140, 56) = 2 \cdot 2 = 4$ г) Разложим 170, 306 и 255 на простые множители: $170 = 2 \cdot 5 \cdot 17$ $306 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17$ $255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$ Общие множители – это $17$. Значит, НОД$(170, 306, 255) = 17$ 2. 87 Чтобы узнать, являются ли числа 675 и 896 взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель. Если НОД равен 1, то числа взаимно простые. $675 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ $896 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$ У них нет общих множителей, значит, НОД$(675, 896) = 1$. Следовательно, числа 675 и 896 взаимно простые. 3. 88 Сокращение дроби – это деление числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель. a) $\frac{12}{18} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{2}{3}$ б) $\frac{24}{36} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{2}{3}$ в) $\frac{72}{90} = \frac{4 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{4}{5}$ г) $\frac{28}{128} = \frac{7 \cdot 4}{32 \cdot 4} = \frac{7}{32}$ 4. 89 Тут нужно взять транспортир и линейку. Сначала нарисуй луч $BC$. Потом от луча $BC$ отложи угол $ABC$, равный $80$ градусам. Потом от луча $BC$ отложи угол $DBC$, равный $60$ градусам. Угол $ABD$ будет равен разности углов $ABC$ и $DBC$. $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC = 80^{\circ} - 60^{\circ} = 20^{\circ}$ Такой угол можно построить только одним способом. 5. 90 **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно указать, сколько всего человек на каждом из трёх факультетов. Известно только общее число студентов (540) и соотношение между количеством студентов на разных факультетах. 6. 91 Допущение: «его сторона» — это одна из сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. Пусть длина прямоугольника равна $a$, а ширина равна $b$. Тогда: $P = 2(a + b) = 81$ см $a = \frac{2}{9} P = \frac{2}{9} \cdot 81 = 18$ см Подставим значение $a$ в формулу периметра: $2(18 + b) = 81$ $36 + 2b = 81$ $2b = 81 - 36$ $2b = 45$ $b = \frac{45}{2} = 22,5$ см Теперь найдем площадь прямоугольника: $S = a \cdot b = 18 \cdot 22,5 = 405$ см$^2$ **Ответ:** Площадь прямоугольника равна 405 см$^2$. 7. 92 Чтобы записать десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно записать число после запятой в числитель, а в знаменатель – степень десятки, соответствующую количеству знаков после запятой. $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ $0,24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}$ $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ 8. 93 Чтобы записать смешанное число в виде десятичной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. $1\frac{1}{5} = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0,2 = 1,2$ $\frac{11}{125} = 0,088$ $\frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$ $5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2} = 5 + 0,5 = 5,5$ 9. 94 Сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце – сложение и вычитание. a) $78,9 + (65,65 - 5,5 \cdot (54,54 : 5,4)) \cdot 1,3 =$ $54,54 : 5,4 = 10,1$ $5,5 \cdot 10,1 = 55,55$ $65,65 - 55,55 = 10,1$ $10,1 \cdot 1,3 = 13,13$ $78,9 + 13,13 = 92,03$ **Ответ:** $92,03$ б) $36,9 + (76,76 - 6,6 \cdot (95,95 : 9,5)) \cdot 27,4 =$ $95,95 : 9,5 = 10,1$ $6,6 \cdot 10,1 = 66,66$ $76,76 - 66,66 = 10,1$ $10,1 \cdot 27,4 = 276,74$ $36,9 + 276,74 = 313,64$ **Ответ:** $313,64$ 10. Какие из данных чисел являются взаимно простыми? Чтобы узнать, являются ли числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель. Если НОД равен 1, то числа взаимно простые. a) $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ $15 = 3 \cdot 5$ НОД$(12, 15) = 3$. Значит, числа 12 и 15 не взаимно простые. б) $29$ – простое число. $34 = 2 \cdot 17$ НОД$(29, 34) = 1$. Значит, числа 29 и 34 взаимно простые. в) $25 = 5 \cdot 5$ $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ НОД$(25, 30) = 5$. Значит, числа 25 и 30 не взаимно простые. **Правильный ответ: Б**