Можешь доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC, или если AB || CD, ∠A = ∠C?

Давай докажем, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, если выполняются условия из пунктов а) и б). а) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то это значит: - $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC. Раз они равны, то AB || CD. - $\angle BCA$ и $\angle DAC$ — накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC. Раз они тоже равны, то BC || AD. Получается, что у четырехугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и BC || AD). А это как раз и означает, что ABCD — параллелограмм! б) Если AB || CD и $\angle A = \angle C$, то тут немного сложнее: - Раз AB || CD, то углы $\angle A$ и $\angle D$ — односторонние при параллельных прямых AB и CD и секущей AD. Значит, $\angle A + \angle D = 180^\circ$. - Точно так же, углы $\angle B$ и $\angle C$ — односторонние при параллельных AB и CD и секущей BC. Значит, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. - Нам дано, что $\angle A = \angle C$. Тогда получается, что и $\angle D = \angle B$ (потому что если из 180 вычесть одинаковые углы, останутся тоже одинаковые). Итак, у четырехугольника ABCD противоположные углы равны ($\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$). А это еще один признак параллелограмма! Значит, ABCD — параллелограмм и в этом случае.