Реши задания 29-35

Решение задания 29: а) Сравним числа 5,48(5) и 5,4(85). У числа 5,48(5) период начинается с третьего знака после запятой, а у числа 5,4(85) период начинается со второго знака после запятой. Представим первое число в виде 5,4855555..., а второе в виде 5,4858585... Так как у второго числа в четвёртом знаке стоит цифра 8, а у первого 5, то второе число больше. **Ответ: 5,48(5) < 5,4(85)** б) Сравним числа -3,5(61) и -3,56(1). У числа -3,5(61) период начинается с третьего знака после запятой, а у числа -3,56(1) период начинается с третьего знака после запятой. Представим первое число в виде -3,5616161..., а второе в виде -3,5611111... Так как оба числа отрицательные, то больше то число, модуль которого меньше. Так как у первого числа в четвёртом знаке стоит цифра 6, а у второго 1, то первое число больше. **Ответ: -3,5(61) > -3,56(1)** Решение задания 30: Нужно найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено каждое из чисел: √3; √5; √8; √10; √20; √50; √75. Помни, что натуральные числа - это целые положительные числа (1, 2, 3 и т. д.). Чтобы решить это задание, нужно вспомнить таблицу квадратов или прикинуть, между какими квадратами натуральных чисел находятся данные корни. √3 находится между √1 и √4, то есть между 1 и 2. √5 находится между √4 и √9, то есть между 2 и 3. √8 находится между √4 и √9, то есть между 2 и 3. √10 находится между √9 и √16, то есть между 3 и 4. √20 находится между √16 и √25, то есть между 4 и 5. √50 находится между √49 и √64, то есть между 7 и 8. √75 находится между √64 и √81, то есть между 8 и 9. **Ответ:** √3: 1 и 2 √5: 2 и 3 √8: 2 и 3 √10: 3 и 4 √20: 4 и 5 √50: 7 и 8 √75: 8 и 9 Решение задания 31: Сравним числа $c$ и $\sqrt{c}$ при условии: a) $c > 1$ Если $c > 1$, то $\sqrt{c} < c$. Например, если $c = 4$, то $\sqrt{4} = 2$, и $2 < 4$. б) $0 < c < 1$ Если $0 < c < 1$, то $\sqrt{c} > c$. Например, если $c = 0,25$, то $\sqrt{0,25} = 0,5$, и $0,5 > 0,25$. Существует ли значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$? Да, такое значение существует. Это $c = 0$ и $c = 1$. $\sqrt{0} = 0$ и $\sqrt{1} = 1$. Решение задания 32: а) Сравним числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$. Чтобы сравнить эти числа, возведём их в квадрат: $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$ $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$ Так как $75 > 45$, то $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$. **Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$** б) Сравним числа $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$. Преобразуем первое число: $0,1\sqrt{4500} = 0,1\sqrt{45 \cdot 100} = 0,1 \cdot 10 \sqrt{45} = \sqrt{45}$ Таким образом, $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$. **Ответ: $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$** в) Сравним числа $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$. Чтобы сравнить эти числа, возведём их в квадрат: $(0,3\sqrt{10})^2 = 0,09 \cdot 10 = 0,9$ $(0,1\sqrt{80})^2 = 0,01 \cdot 80 = 0,8$ Так как $0,9 > 0,8$, то $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$. **Ответ: $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$** г) Сравним числа $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Так как оба числа отрицательные, то больше то число, модуль которого меньше. Возведём числа в квадрат: $(-4\sqrt{0,2})^2 = 16 \cdot 0,2 = 3,2$ $(-\sqrt{0,7})^2 = 0,7$ Так как $3,2 > 0,7$, то $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$. **Ответ: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$** Решение задания 33: а) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$ Сначала выполним деление, а потом вычитание. $2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21} = \frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{16 \cdot 21}{7 \cdot 40} = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ Теперь выполним вычитание: $12\frac{2}{5} - 1\frac{1}{5} = 11\frac{1}{5}$ **Ответ: $11\frac{1}{5}$** б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$ Сначала выполним вычитание в скобках, а потом деление. $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} = \frac{62}{5} - \frac{16}{7} = \frac{62 \cdot 7 - 16 \cdot 5}{35} = \frac{434 - 80}{35} = \frac{354}{35} = 10\frac{4}{35}$ Теперь выполним деление: $10\frac{4}{35} : 1\frac{19}{21} = \frac{354}{35} : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} \cdot \frac{21}{40} = \frac{354 \cdot 21}{35 \cdot 40} = \frac{1863}{100} = 18,63$ **Ответ: 18,63** Решение задания 34: а) 2,4 * 10⁻² и 0,0125 * 10³ Сначала переведём числа в стандартный вид: 2,4 * 10⁻² = 0,024 0,0125 * 10³ = 12,5 Теперь найдём сумму, разность, произведение и частное: Сумма: 0,024 + 12,5 = 12,524 Разность: 0,024 - 12,5 = -12,476 Произведение: 0,024 * 12,5 = 0,3 Частное: 0,024 / 12,5 = 0,00192 **Ответ:** Сумма: 12,524 Разность: -12,476 Произведение: 0,3 Частное: 0,00192 б) (1,3 * 10⁻²)² и 5,2 * 10⁻⁵ Сначала переведём числа в стандартный вид: (1,3 * 10⁻²)² = (0,013)² = 0,000169 = 1,69 * 10⁻⁴ 5,2 * 10⁻⁵ = 0,000052 Теперь найдём сумму, разность, произведение и частное: Сумма: 0,000169 + 0,000052 = 0,000221 Разность: 0,000169 - 0,000052 = 0,000117 Произведение: 0,000169 * 0,000052 = 0,000000008788 Частное: 0,000169 / 0,000052 = 3,25 **Ответ:** Сумма: 0,000221 Разность: 0,000117 Произведение: 0,000000008788 Частное: 3,25 в) 15,4 * 10⁶ и 0,044 * 10⁷ Сначала переведём числа в стандартный вид: 15,4 * 10⁶ = 15400000 0,044 * 10⁷ = 440000 Теперь найдём сумму, разность, произведение и частное: Сумма: 15400000 + 440000 = 15840000 Разность: 15400000 - 440000 = 14960000 Произведение: 15400000 * 440000 = 6776000000000 Частное: 15400000 / 440000 = 35 **Ответ:** Сумма: 15840000 Разность: 14960000 Произведение: 6776000000000 Частное: 35 г) (3,5 * 10⁻³)² и (7 * 10⁻⁴)² Сначала переведём числа в стандартный вид: (3,5 * 10⁻³)² = (0,0035)² = 0,00001225 (7 * 10⁻⁴)² = (0,0007)² = 0,00000049 Теперь найдём сумму, разность, произведение и частное: Сумма: 0,00001225 + 0,00000049 = 0,00001274 Разность: 0,00001225 - 0,00000049 = 0,00001176 Произведение: 0,00001225 * 0,00000049 = 0,0000000000060025 Частное: 0,00001225 / 0,00000049 = 25 **Ответ:** Сумма: 0,00001274 Разность: 0,00001176 Произведение: 0,0000000000060025 Частное: 25 Решение задания 35: a) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$ Сначала раскроем скобки: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$ Теперь выполним умножение: $7^{13} : 7^{11}$ Теперь выполним деление: $7^2 = 49$ **Ответ: 49** б) $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$ Сначала выполним первое деление: $11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4-13} = 11^{-17}$ Теперь выполним второе деление: $11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17-17} = 11^{-34}$ **Ответ: $11^{-34}$** г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$ Сначала раскроем скобки: $10 : 5^{-26} : 25^{14}$ Представим 25 как 5²: $10 : 5^{-26} : (5^2)^{14} = 10 : 5^{-26} : 5^{28}$ Выполним деление: $10 : 5^{-26-28} = 10 : 5^{-54} = 10 \cdot 5^{54}$ **Ответ: $10 \cdot 5^{54}$** д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$ Представим 15 как 3 * 5, а 12 как 3 * 4: $\frac{(3 \cdot 5)^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{(3 \cdot 4)^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6}$ Выполним деление в каждой дроби: $(3^2 \cdot 5) : (3^{-1} \cdot 4^{-1}) = (9 \cdot 5) : (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}) = 45 : \frac{1}{12} = 45 \cdot 12 = 540$ **Ответ: 540** е) $\frac{10^{10}}{10^{10}} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{17^6 \cdot 8^3}$ Так как первая дробь равна 1, и вторая дробь равна 1, то: $1 : 1 = 1$ **Ответ: 1**