Объясни, сколько можно построить параллелограммов через три заданные точки, не лежащие на одной прямой? Найди периметр получившегося параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Докажи, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

Задание 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно построить только один параллелограмм. Задание 4. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Из точки $D$ на основании $AC$ проведены прямые, параллельные боковым сторонам, пересекающие стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда $AEDF$ – параллелограмм. Докажем, что периметр $AEDF$ равен длине боковой стороны треугольника $ABC$. Так как $DE || BC$, то $\angle ADE = \angle ACB$ как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Аналогично, так как $DF || AB$, то $\angle CFD = \angle BAC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, $\angle BAC = \angle ACB$. Следовательно, $\angle ADE = \angle ACB = \angle BAC = \angle CFD$. Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CDF$. В треугольнике $ADE$: $\angle ADE = \angle BAC$, значит, треугольник $ADE$ – равнобедренный, и $AE = DE$. В треугольнике $CDF$: $\angle CFD = \angle ACB$, значит, треугольник $CDF$ – равнобедренный, и $CF = DF$. Периметр параллелограмма $AEDF$ равен $P = 2(AE + ED)$. Так как $AE = DE$ и $CF = DF$, то $P = 2(DE + DF) = 2(AE + CF)$. Заметим, что $AE + CF = AE + (BC - BF) = AE + BC - BF$. Но $BF = DE$, так как $BFED$ – параллелограмм (по условию $DE || BC$ и $DF || AB$). Следовательно, $AE + CF = AB$, так как $AB = AE + EB = AE + DE = AE + BF$. Таким образом, периметр $P = 2(AE + DF) = 2AB$. Учитывая, что боковая сторона равна 5 м, периметр параллелограмма равен $2 * 5 = 10$ м. **Ответ: 10 м** Задание 5. Пусть дан четырехугольник $ABCD$, описанный около окружности. Это означает, что окружность касается каждой из сторон четырехугольника. Пусть стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ касаются окружности в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, заключенные между этой точкой и точкой касания, равны. То есть: $AK = AN$ (касательные из точки $A$) $BK = BL$ (касательные из точки $B$) $CL = CM$ (касательные из точки $C$) $DM = DN$ (касательные из точки $D$) Теперь рассмотрим суммы противоположных сторон четырехугольника: $AB + CD = (AK + BK) + (CM + DM)$ $BC + DA = (BL + CL) + (DN + AN)$ Заменим отрезки, используя равенства касательных: $AB + CD = (AN + BL) + (CL + DN)$ $BC + DA = (BL + CL) + (DN + AN)$ Видим, что $AB + CD = BC + DA$. Это означает, что суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Что и требовалось доказать.