462. Чтобы начертить выпуклые пятиугольник и шестиугольник, нужно нарисовать многоугольники, у которых все углы меньше 180 градусов и все вершины направлены наружу.
Чтобы узнать, на сколько треугольников разделяют диагонали каждый многоугольник, нужно из каждой вершины провести все возможные диагонали (отрезки, соединяющие вершины, не являющиеся соседними).
* В пятиугольнике из одной вершины можно провести 2 диагонали, и они разделят его на 3 треугольника.
* В шестиугольнике из одной вершины можно провести 3 диагонали, и они разделят его на 4 треугольника.
463. Чтобы найти сумму углов выпуклого многоугольника, можно воспользоваться формулой: $(n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ - количество сторон многоугольника.
a) Для пятиугольника: $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$
b) Для шестиугольника: $(6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$
v) Для десятиугольника: $(10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$
464. Чтобы найти количество диагоналей выпуклого многоугольника, можно воспользоваться формулой: $N = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ - количество сторон многоугольника.
a) Для пятиугольника: $N = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$
b) Для двенадцатиугольника: $N = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$
v) Для двадцатипятиугольника: $N = \frac{25(25-3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 275$
465. Чтобы узнать, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, зная величину угла, можно воспользоваться формулой: $a = \frac{180(n-2)}{n}$, где $a$ - величина угла, $n$ - количество сторон.
Преобразуем формулу, чтобы выразить $n$: $n = \frac{360}{180-a}$
a) $n = \frac{360}{180-90} = \frac{360}{90} = 4$. Это квадрат.
b) $n = \frac{360}{180-60} = \frac{360}{120} = 3$. Это треугольник.
v) $n = \frac{360}{180-120} = \frac{360}{60} = 6$. Это шестиугольник.
g) $n = \frac{360}{180-108} = \frac{360}{72} = 5$. Это пятиугольник.
466. **Допущение:** Одна сторона больше каждой из *оставшихся* сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. Это значит, что у нас есть четыре стороны: $a, b, c, d$. И сторона $a$ больше, чем $b$ на 3 мм, чем $c$ на 4 мм, и чем $d$ на 5 мм. Тогда:
$a = b + 3$
$a = c + 4$
$a = d + 5$
Периметр равен 8 см, или 80 мм. Значит,
$a + b + c + d = 80$
Выразим всё через $a$:
$a + (a - 3) + (a - 4) + (a - 5) = 80$
$4a - 12 = 80$
$4a = 92$
$a = 23$ мм
Теперь найдём остальные стороны:
$b = a - 3 = 23 - 3 = 20$ мм
$c = a - 4 = 23 - 4 = 19$ мм
$d = a - 5 = 23 - 5 = 18$ мм
467. **Допущение:** Первая сторона больше второй на 8 см, и *каждая следующая* сторона больше предыдущей на 8 см.
Если периметр равен 66 см, то:
Пусть вторая сторона равна $x$, тогда первая сторона $x + 8$, третья $x + 16$, четвёртая $x + 24$.
$x + 8 + x + x + 16 + x + 24 = 66$
$4x + 48 = 66$
$4x = 18$
$x = 4,5$ см
Тогда стороны равны:
2-я сторона: 4,5 см
1-я сторона: 4,5 + 8 = 12,5 см
3-я сторона: 4,5 + 16 = 20,5 см
4-я сторона: 4,5 + 24 = 28,5 см
