Помоги решить упражнения: Найди десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01

1. Чтобы найти десять рациональных чисел между 0,001 и 0,01, можно взять числа: 0,002, 0,003, 0,004, 0,005, 0,006, 0,007, 0,008, 0,009, 0,0095, 0,0099. А иррациональные числа в этом промежутке: 0,0011010010001..., 0,002020020002..., 0,003030030003..., 0,004040040004..., 0,005050050005..., 0,006060060006..., 0,007070070007..., 0,008080080008..., 0,009090090009..., 0,00151551555... 2. Сначала нужно понять, какие примерно значения у $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. $\sqrt{2}$ это примерно 1,41, а $\sqrt{3}$ это примерно 1,73. Теперь смотрим на числа и выбираем те, что между этими значениями. Подходят 1,68; 1,4. 3. Утверждение «Если $a \in N$, то $a \in Z$» верно, потому что натуральные числа всегда являются целыми. 4. a) Чтобы $x$ был целым числом, но не натуральным, подойдут отрицательные числа, например: -1; -2. б) Чтобы $x$ был рациональным числом, но не целым, подойдут дроби, например: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$. 5. а) 6 принадлежит N, Z, Q и R. б) -1,98 принадлежит Q и R. в) 0,5(87) принадлежит Q и R. г) $\pi$ принадлежит R. 6. a) Z \cap R = Z (множество целых чисел). б) R \cap N = N (множество натуральных чисел). в) Q \cap R = Q (множество рациональных чисел). г) N \cap Q \cap R = N (множество натуральных чисел). 7. а) $\frac{1}{3} = 0,(3)$ б) $\frac{5}{6} = 0,8(3)$ в) $\frac{7}{9} = 0,(7)$ г) $1 \frac{8}{11} = 1,(72)$ д) $2 \frac{4}{15} = 2,2(6)$ 8. а) $\frac{1}{6} = 0,1666... \approx 0,2 \approx 0,17 \approx 0,167$ б) $\frac{5}{22} = 0,2272727... \approx 0,2 \approx 0,23 \approx 0,227$ в) $\frac{13}{64} = 0,203125 \approx 0,2 \approx 0,20 \approx 0,203$ г) $\frac{37}{15} = 2,4666... \approx 2,5 \approx 2,47 \approx 2,467$ д) $\frac{87}{65} = 1,33846... \approx 1,3 \approx 1,34 \approx 1,338$ 9. а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$ - верно. $2,(3) = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$ б) $0,1(6) = \frac{1}{6}$ - неверно. $0,1(6) = 0,1 + \frac{6}{90} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$ - верно. $7,(18) = 7 + \frac{18}{99} = 7 + \frac{2}{11} = 7\frac{2}{11}$ г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$ - верно. $3,4(6) = 3,4 + \frac{6}{90} = 3\frac{4}{10} + \frac{1}{15} = 3\frac{6}{15} + \frac{1}{15} = 3\frac{7}{15}$ 10. Доказательство: Пусть даны два рациональных числа: $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, n, p, q$ - целые числа, $n \ne 0$ и $q \ne 0$. Разность: $a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - np}{nq}$. Так как $mq - np$ и $nq$ - целые числа, то $a - b$ - рациональное число. Произведение: $a \cdot b = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}$. Так как $mp$ и $nq$ - целые числа, то $a \cdot b$ - рациональное число. Частное: $\frac{a}{b} = \frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$. Так как $mq$ и $np$ - целые числа, то $\frac{a}{b}$ - рациональное число. 11. а) $13 \in N$ б) $0,8 \in Q$ в) $\sqrt{3} \in R$ г) $585 \in N$ д) $0 \in Z