Помоги решить задачи по геометрии и тригонометрии: 1) Найди угол AMB, если AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°; 2) Найди AM, если AC = 54, BM - медиана, BM = 43; 3) Найди MN, если точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 66, сторона BC равна 37, сторона AC равна 74; 4) Найди сторону равностороннего треугольника, если медиана равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$; 5) Найди cos A, если синус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{\sqrt{21}}{5}$; 6) Найди величину угла ABC, если в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Задача №1. Недостаточно данных для точного решения. Нужно знать, где находится точка H: между A и M, между M и C, или совпадает с M или C. Задача №2. Допущение: $BM$ - медиана, значит $AM = MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 54 = 27$. **Ответ: $AM = 27$** Задача №3. $MN$ - средняя линия треугольника $ABC$, следовательно, $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 74 = 37$. **Ответ: $MN = 37$** Задача №4. Медиана равностороннего треугольника, она же высота, равна $11\sqrt{3}$. Пусть сторона треугольника равна $a$. Тогда высота, проведенная к стороне $a$, равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Получаем: $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}$$ $$a = \frac{2 \cdot 11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$$ **Ответ: сторона равностороннего треугольника равна 22** Задача №5. $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{21}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0,4$$ **Ответ: $\cos A = 0,4$** Задача №6. В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $C$ равен $123^\circ$. Тогда внутренний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle A = \angle C = 57^\circ$. Тогда угол $B$ равен $180^\circ - 57^\circ - 57^\circ = 66^\circ$. **Ответ: величина угла $ABC$ равна $66^\circ$**