Реши уравнение $(2x+3)^2 - 4(x+1)(x-1) = 49$ и заполни пропуски в тождествах $(2x+y)^2 = 4x^2 + \dots + y^2$, $(4x^3 - \dots)^2 = \dots - \dots + y^4$, $16y^4 - \dots = (3x+\dots)(\dots-3x)$

Привет! Давай разберёмся с твоими домашними заданиями по алгебре. Это несложно, главное — внимательность! **1. Решить уравнение:** а) $(2x+3)^2 - 4(x+1)(x-1) = 49$ Сначала раскроем скобки. Помни формулы сокращённого умножения: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Применим их к нашему уравнению: $(2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 - 4(x^2 - 1^2) = 49$ $4x^2 + 12x + 9 - 4(x^2 - 1) = 49$ Теперь раскроем вторую скобку: $4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 4 = 49$ Сгруппируем похожие слагаемые: $(4x^2 - 4x^2) + 12x + (9 + 4) = 49$ $0 + 12x + 13 = 49$ $12x + 13 = 49$ Теперь перенесём число 13 в правую часть, не забывая поменять знак: $12x = 49 - 13$ $12x = 36$ Чтобы найти $x$, нужно разделить 36 на 12: $x = \frac{36}{12}$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$** б) $(3x+4)^2 - (3x+1)(3x-1) = 49$ Снова используем формулы сокращённого умножения: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Раскрываем скобки: $(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 4 + 4^2 - ((3x)^2 - 1^2) = 49$ $9x^2 + 24x + 16 - (9x^2 - 1) = 49$ Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит минус – все знаки внутри скобок поменяются на противоположные: $9x^2 + 24x + 16 - 9x^2 + 1 = 49$ Сгруппируем похожие слагаемые: $(9x^2 - 9x^2) + 24x + (16 + 1) = 49$ $0 + 24x + 17 = 49$ $24x + 17 = 49$ Перенесём 17 в правую часть с противоположным знаком: $24x = 49 - 17$ $24x = 32$ Чтобы найти $x$, разделим 32 на 24: $x = \frac{32}{24}$ Дробь $\frac{32}{24}$ можно сократить на 8: $x = \frac{32 \div 8}{24 \div 8} = \frac{4}{3}$ **Ответ: $x = \frac{4}{3}$** **2. Заполни пропуски так, чтобы получились тождества:** а) $(2x+y)^2 = 4x^2 + \dots + y^2$ Это формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Здесь $a = 2x$ и $b = y$. Пропущенное слагаемое — это $2ab$. $2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$ Значит, пропуск — это $4xy$. **Ответ: $(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$** б) $(4x^3 - \dots)^2 = \dots - \dots + y^4$ Здесь у нас квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Из выражения видно, что $b^2 = y^4$, значит $b = y^2$. Первое пропущенное слагаемое — это $a^2$. У нас $a=4x^3$, значит $a^2 = (4x^3)^2 = 16x^6$. Второе пропущенное слагаемое — это $2ab$. $2 \cdot (4x^3) \cdot (y^2) = 8x^3y^2$ **Ответ: $(4x^3 - y^2)^2 = 16x^6 - 8x^3y^2 + y^4$** в) $16y^4 - \dots = (3x+\dots)(\dots-3x)$ Это формула разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Из правой части мы видим, что множители $(3x+\dots)$ и $(\dots-3x)$ похожи на $(a+b)(a-b)$. Значит, $a = \dots$ и $b = 3x$. В левой части у нас $16y^4 - \dots$. Если $a^2 = 16y^4$, то $a = \sqrt{16y^4} = 4y^2$. Тогда второе слагаемое в левой части $b^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Подставим $a=4y^2$ и $b=3x$ в правую часть: $(3x+4y^2)(4y^2-3x)$ Или, для удобства, можно записать так, чтобы $a$ был первым членом: $(4y^2+3x)(4y^2-3x)$ **Ответ: $16y^4 - 9x^2 = (4y^2+3x)(4y^2-3x)$**