Запиши множество натуральных решений неравенства 297 < x \leq 312, кратных числу n. Запиши множества A(2), A(3), A(5), A(9), A(10).

Привет! Давай разберемся с этими интересными задачами по математике. ### Задание 53 Нам нужно найти числа, которые больше 297, но меньше или равны 312, и при этом делятся на заданное число $n$. * **A(2)** — это числа, которые делятся на 2 (чётные числа): Найдём первое чётное число после 297: это 298. Последнее чётное число, которое меньше или равно 312: это 312. $A(2) = \{298, 300, 302, 304, 306, 308, 310, 312\}$ * **A(3)** — это числа, которые делятся на 3: Найдём первое число, делящееся на 3, после 297. Число 297 делится на 3 (2+9+7 = 18, 18 делится на 3). Значит, следующее будет 297 + 3 = 300. Последнее число, делящееся на 3, которое меньше или равно 312: 312 делится на 3 (3+1+2 = 6, 6 делится на 3). $A(3) = \{300, 303, 306, 309, 312\}$ * **A(5)** — это числа, которые делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5): Найдём первое число, делящееся на 5, после 297: это 300. Последнее число, делящееся на 5, которое меньше или равно 312: это 310. $A(5) = \{300, 305, 310\}$ * **A(9)** — это числа, которые делятся на 9: Найдём первое число, делящееся на 9, после 297. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Проверим числа: 297 (2+9+7 = 18, делится на 9). Но нам нужны числа *больше* 297. Значит, следующее будет 297 + 9 = 306. Проверим 312: 3+1+2=6, не делится на 9. Значит, 306 - единственное такое число. $A(9) = \{306\}$ * **A(10)** — это числа, которые делятся на 10 (оканчиваются на 0): Найдём первое число, делящееся на 10, после 297: это 300. Последнее число, делящееся на 10, которое меньше или равно 312: это 310. $A(10) = \{300, 310\}$ ### Задание 54 Нам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел, разложив их на простые множители. Простые множители — это числа, которые делятся только на 1 и на самих себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и так далее). Чтобы найти НОД, мы выбираем все общие простые множители, взяв их с наименьшей степенью. Чтобы найти НОК, мы берём все простые множители, которые есть хотя бы в одном из разложений, взяв их с наибольшей степенью. **а) 105 и 225** Разложим числа: $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ $225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5^2$ * НОД(105, 225) = $3 \cdot 5 = 15$ (общие множители с наименьшей степенью) * НОК(105, 225) = $3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 225 \cdot 7 = 1575$ (все множители с наибольшей степенью) **б) 84 и 420** Разложим числа: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ * НОД(84, 420) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ (Обрати внимание, 84 является делителем 420, поэтому НОД равен 84) * НОК(84, 420) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$ (Так как 420 делится на 84, НОК равен 420) **в) 273 и 110** Разложим числа: $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому их НОД равен 1. * НОД(273, 110) = 1 * НОК(273, 110) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030$ **г) 45, 120 и 525** Разложим числа: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$ $120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ $525 = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7$ * НОД(45, 120, 525): Ищем общие множители с наименьшей степенью. Общие множители - это 3 и 5. Наименьшая степень для 3 - это $3^1$. Наименьшая степень для 5 - это $5^1$. НОД(45, 120, 525) = $3 \cdot 5 = 15$ * НОК(45, 120, 525): Ищем все множители с наибольшей степенью. Для 2 это $2^3$, для 3 это $3^2$, для 5 это $5^2$, для 7 это $7^1$. НОК(45, 120, 525) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 72 \cdot 25 \cdot 7 = 1800 \cdot 7 = 12600$