Вычисли значения $\sin \alpha$, $\text{tg } \alpha$ и $\text{ctg } \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{15}{17}$.

Привет! Давай вместе решим этот пример. Нам дано, что $\cos \alpha = \frac{15}{17}$. Нам нужно найти $\sin \alpha$, $\text{tg } \alpha$ и $\text{ctg } \alpha$. 1. **Находим $\sin \alpha$** Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Это как теорема Пифагора для углов! Подставим сюда значение $\cos \alpha$: $$ \sin^2 \alpha + \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{15^2}{17^2} = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{225}{289} = 1 $$ Теперь вычтем $\frac{225}{289}$ из единицы. Чтобы было удобнее, представим $1$ как $\frac{289}{289}$: $$ \sin^2 \alpha = \frac{289}{289} - \frac{225}{289} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{289 - 225}{289} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{64}{289} $$ Чтобы найти $\sin \alpha$, нужно извлечь квадратный корень. Помни, что корень может быть как положительным, так и отрицательным. В школьных задачах, если не сказано иначе, мы обычно берём положительное значение, то есть считаем, что угол острый (первая четверть). $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{64}{289}} $$ $$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{289}} $$ $$ \sin \alpha = \frac{8}{17} $$ 2. **Находим $\text{tg } \alpha$** Тангенс — это отношение синуса к косинусу: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставим наши значения: $$ \text{tg } \alpha = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} $$ Когда мы делим одну дробь на другую, мы умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую: $$ \text{tg } \alpha = \frac{8}{17} \cdot \frac{17}{15} $$ Сокращаем $17$: $$ \text{tg } \alpha = \frac{8}{15} $$ 3. **Находим $\text{ctg } \alpha$** Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$ или $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Можно использовать любой способ. Давай используем, что $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}$: $$ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{8}{15}} $$ $$ \text{ctg } \alpha = \frac{15}{8} $$ **Ответ:** $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ $\text{tg } \alpha = \frac{8}{15}$ $\text{ctg } \alpha = \frac{15}{8}$