Реши уравнение $\frac{x}{x^2 + 3x + 2} - \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{24}$

Привет! Давай разберем это интересное уравнение шаг за шагом. Уравнение выглядит так: $$\frac{x}{x^2 + 3x + 2} - \frac{x}{x^2 + 6x + 2} = \frac{1}{24}$$ 1. **Проверим, когда знаменатели не равны нулю.** * Для первого знаменателя: $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$. Значит, $x \neq -1$ и $x \neq -2$. * Для второго знаменателя: $x^2 + 6x + 2$. Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = 6^2 - 4(1)(2) = 36 - 8 = 28$. Корни $x = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -3 \pm \sqrt{7}$. Значит, $x \neq -3 + \sqrt{7}$ и $x \neq -3 - \sqrt{7}$. * Также, если $x=0$, то левая часть уравнения будет $0 - 0 = 0$, что не равно $\frac{1}{24}$. Значит, $x \neq 0$. Это важно, так как мы будем делить на $x$. 2. **Упростим выражение с помощью подстановки.** Заметим, что в обоих знаменателях есть $x^2+2$. Давай разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ (мы уже знаем, что $x \neq 0$): $$\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^2 + 3x + 2}{x}} - \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^2 + 6x + 2}{x}} = \frac{1}{24}$$ $$\frac{1}{x + 3 + \frac{2}{x}} - \frac{1}{x + 6 + \frac{2}{x}} = \frac{1}{24}$$ Теперь давай сделаем подстановку. Пусть $u = x + \frac{2}{x}$. Тогда уравнение станет намного проще: $$\frac{1}{u + 3} - \frac{1}{u + 6} = \frac{1}{24}$$ 3. **Решим уравнение для $u$.** Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(u+3)(u+6)$: $$\frac{(u + 6) - (u + 3)}{(u + 3)(u + 6)} = \frac{1}{24}$$ $$\frac{u + 6 - u - 3}{(u + 3)(u + 6)} = \frac{1}{24}$$ $$\frac{3}{(u + 3)(u + 6)} = \frac{1}{24}$$ Перемножим крест-накрест: $$3 \times 24 = (u + 3)(u + 6)$$ $$72 = u^2 + 6u + 3u + 18$$ $$72 = u^2 + 9u + 18$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$u^2 + 9u + 18 - 72 = 0$$ $$u^2 + 9u - 54 = 0$$ 4. **Найдем значения $u$.** Решим квадратное уравнение $u^2 + 9u - 54 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$: $$u = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(1)(-54)}}{2(1)}$$ $$u = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 216}}{2}$$ $$u = \frac{-9 \pm \sqrt{297}}{2}$$ Заметим, что $\sqrt{297} = \sqrt{9 \times 33} = 3\sqrt{33}$. Значит, у нас есть два значения для $u$: $$u_1 = \frac{-9 + 3\sqrt{33}}{2}$$ $$u_2 = \frac{-9 - 3\sqrt{33}}{2}$$ 5. **Вернемся к $x$.** Теперь нам нужно решить уравнение $x + \frac{2}{x} = u$ для каждого найденного значения $u$. Умножим обе части на $x$: $$x^2 + 2 = ux$$ $$x^2 - ux + 2 = 0$$ Снова используем формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-(-u) \pm \sqrt{(-u)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$: $$x = \frac{u \pm \sqrt{u^2 - 8}}{2}$$ Чтобы не считать $u^2$ заново, мы знаем, что $u^2 + 9u - 54 = 0$, поэтому $u^2 = 54 - 9u$. Подставим это в выражение под корнем: $$u^2 - 8 = (54 - 9u) - 8 = 46 - 9u$$ Теперь найдем корни $x$ для каждого $u$. **Случай 1: $u_1 = \frac{-9 + 3\sqrt{33}}{2}$** Найдем $u_1^2 - 8$ (или $46 - 9u_1$): $$46 - 9\left(\frac{-9 + 3\sqrt{33}}{2}\right) = 46 - \frac{-81 + 27\sqrt{33}}{2}$$ $$= \frac{92 - (-81 + 27\sqrt{33})}{2} = \frac{92 + 81 - 27\sqrt{33}}{2} = \frac{173 - 27\sqrt{33}}{2}$$ Теперь найдем $x$: $$x_{1,2} = \frac{\frac{-9 + 3\sqrt{33}}{2} \pm \sqrt{\frac{173 - 27\sqrt{33}}{2}}}{2}$$ $$x_{1,2} = \frac{-9 + 3\sqrt{33} \pm \sqrt{2(173 - 27\sqrt{33})}}{4}$$ $$x_{1,2} = \frac{-9 + 3\sqrt{33} \pm \sqrt{346 - 54\sqrt{33}}}{4}$$ Это две из четырех возможных решений. **Случай 2: $u_2 = \frac{-9 - 3\sqrt{33}}{2}$** Найдем $u_2^2 - 8$ (или $46 - 9u_2$): $$46 - 9\left(\frac{-9 - 3\sqrt{33}}{2} ight) = 46 - \frac{-81 - 27\sqrt{33}}{2}$$ $$= \frac{92 - (-81 - 27\sqrt{33})}{2} = \frac{92 + 81 + 27\sqrt{33}}{2} = \frac{173 + 27\sqrt{33}}{2}$$ Теперь найдем $x$: $$x_{3,4} = \frac{\frac{-9 - 3\sqrt{33}}{2} \pm \sqrt{\frac{173 + 27\sqrt{33}}{2}}}{2}$$ $$x_{3,4} = \frac{-9 - 3\sqrt{33} \pm \sqrt{2(173 + 27\sqrt{33})}}{4}$$ $$x_{3,4} = \frac{-9 - 3\sqrt{33} \pm \sqrt{346 + 54\sqrt{33}}}{4}$$ Это еще две из четырех возможных решений. Итак, у нас получилось четыре решения для $x$. **Ответ:** $$x_1 = \frac{-9 + 3\sqrt{33} + \sqrt{346 - 54\sqrt{33}}}{4}$$ $$x_2 = \frac{-9 + 3\sqrt{33} - \sqrt{346 - 54\sqrt{33}}}{4}$$ $$x_3 = \frac{-9 - 3\sqrt{33} + \sqrt{346 + 54\sqrt{33}}}{4}$$ $$x_4 = \frac{-9 - 3\sqrt{33} - \sqrt{346 + 54\sqrt{33}}}{4}$$