Вычислите $16^\frac{1}{4} - (64^{-1})^\frac{1}{2}$ и найдите значение выражения $\frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}}$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Тут нужно посчитать значения выражений, используя свойства степеней. **Задание 4: Вычислите $16^\frac{1}{4} - (64^{-1})^\frac{1}{2}$.** 1. Сначала вспомним, что значит степень с дробным показателем. Например, $a^\frac{1}{n}$ — это корень $n$-й степени из числа $a$. А ещё, когда степень возводится в степень, показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. 2. Давай вычислим каждую часть выражения отдельно: * $16^\frac{1}{4}$ — это корень четвёртой степени из 16. Какое число нужно умножить само на себя 4 раза, чтобы получить 16? Это 2, ведь $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Значит, $16^\frac{1}{4} = 2$. * $(64^{-1})^\frac{1}{2}$ — здесь у нас степень в степени. Сначала перемножим показатели: $-1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Значит, нам нужно вычислить $64^{-\frac{1}{2}}$. Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Получаем $\frac{1}{64^\frac{1}{2}}$. $64^\frac{1}{2}$ — это квадратный корень из 64, то есть 8, потому что $8 \cdot 8 = 64$. Значит, $64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{8}$. 3. Теперь подставим найденные значения обратно в выражение: $2 - \frac{1}{8} = 1\frac{8}{8} - \frac{1}{8} = 1\frac{7}{8}$. **Ответ: $1\frac{7}{8}$** **Задание 5: Найдите значение выражения $\frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}}$.** 1. Здесь тоже нужно использовать свойства степеней. Все числа в выражении — это степени числа 5. Давай приведём их к общему основанию 5: * $25 = 5^2$ * $125 = 5^3$ 2. Теперь подставим это в выражение: $$\frac{5^{-9} \cdot (5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}$$ 3. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: * $(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$ * $(5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}$ 4. Перепишем выражение с новыми степенями: $$\frac{5^{-9} \cdot 5^{-4}}{5^{-12}}$$ 5. Теперь используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя (верхней части дроби): $5^{-9} \cdot 5^{-4} = 5^{-9 + (-4)} = 5^{-9 - 4} = 5^{-13}$ 6. Выражение стало таким: $$\frac{5^{-13}}{5^{-12}}$$ 7. Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для деления степеней с одинаковым основанием: $5^{-13 - (-12)} = 5^{-13 + 12} = 5^{-1}$ 8. И наконец, отрицательная степень: $5^{-1} = \frac{1}{5}$. **Ответ: $\frac{1}{5}$**