**79. Найдите частное:**
1) Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на "перевёрнутую" дробь (то есть поменять местами числитель и знаменатель).
$$8 : \frac{4}{5} = 8 \times \frac{5}{4} = \frac{8 \times 5}{4} = \frac{40}{4} = 10$$
**Ответ: 10**
2) Сначала переведём смешанную дробь в обыкновенную. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем тем же: $1\frac{7}{16} = \frac{1 \times 16 + 7}{16} = \frac{16+7}{16} = \frac{23}{16}$.
Теперь разделим: $1 : \frac{23}{16} = 1 \times \frac{16}{23} = \frac{16}{23}$.
**Ответ: $\frac{16}{23}$**
3) Деление на целое число — это то же самое, что умножение на дробь, где в числителе 1, а в знаменателе это целое число.
$$\frac{8}{15} : 24 = \frac{8}{15} \times \frac{1}{24} = \frac{8 \times 1}{15 \times 24} = \frac{8}{360}$$
Теперь сократим дробь. И 8, и 360 делятся на 8.
$$\frac{8 \div 8}{360 \div 8} = \frac{1}{45}$$
**Ответ: $\frac{1}{45}$**
4) Сначала переведём смешанные дроби в обыкновенные:
$12\frac{1}{2} = \frac{12 \times 2 + 1}{2} = \frac{24+1}{2} = \frac{25}{2}$
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4 + 3}{4} = \frac{12+3}{4} = \frac{15}{4}$
Теперь делим, умножая на "перевёрнутую" дробь:
$$\frac{25}{2} : \frac{15}{4} = \frac{25}{2} \times \frac{4}{15} = \frac{25 \times 4}{2 \times 15} = \frac{100}{30}$$
Сократим дробь. И 100, и 30 делятся на 10. А потом 10 и 3 делятся на что-то?
$$\frac{100 \div 10}{30 \div 10} = \frac{10}{3}$$
Можно выделить целую часть: $10 \div 3 = 3$ и остаток $1$. Значит, $3\frac{1}{3}$.
**Ответ: $3\frac{1}{3}$**
5) Переведём смешанные дроби в обыкновенные:
$1\frac{3}{5} = \frac{1 \times 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \times 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Теперь делим:
$$\frac{8}{5} : \frac{16}{3} = \frac{8}{5} \times \frac{3}{16} = \frac{8 \times 3}{5 \times 16} = \frac{24}{80}$$
Сократим дробь. И 24, и 80 делятся на 8.
$$\frac{24 \div 8}{80 \div 8} = \frac{3}{10}$$
**Ответ: $\frac{3}{10}$**
6) Переведём смешанную дробь в обыкновенную:
$2\frac{5}{8} = \frac{2 \times 8 + 5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8}$
Теперь делим:
$$\frac{21}{8} : \frac{7}{32} = \frac{21}{8} \times \frac{32}{7} = \frac{21 \times 32}{8 \times 7}$$
Сократим числа: 21 и 7 делятся на 7 (будет 3 и 1), а 32 и 8 делятся на 8 (будет 4 и 1).
$$\frac{3 \times 4}{1 \times 1} = \frac{12}{1} = 12$$
**Ответ: 12**
**80. Найдите значение выражения:**
1) Сначала переведём смешанные дроби в обыкновенные:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Теперь выполним деление по порядку слева направо.
Первое деление: $\frac{9}{4} : \frac{3}{8} = \frac{9}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{9 \times 8}{4 \times 3} = \frac{72}{12} = 6$
Второе деление: $6 : \frac{1}{2} = 6 \times \frac{2}{1} = 12$
**Ответ: 12**
2) Сначала решаем то, что в скобках. В скобках деление. Переведём смешанную дробь в обыкновенную:
$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Теперь решаем в скобках: $\frac{3}{8} : \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{8 \times 1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Теперь у нас осталось: $\frac{9}{4} : \frac{3}{4}$
$$\frac{9}{4} : \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{9 \times 4}{4 \times 3} = \frac{36}{12} = 3$$
**Ответ: 3**
3) Это выражение немного посложнее. Помним про порядок действий: сначала умножение/деление, потом сложение/вычитание. И, конечно, сначала то, что в скобках.
Переведём все смешанные дроби в обыкновенные:
$6\frac{3}{4} = \frac{6 \times 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$
$5\frac{1}{8} = \frac{5 \times 8 + 1}{8} = \frac{41}{8}$
$1\frac{9}{32} = \frac{1 \times 32 + 9}{32} = \frac{41}{32}$
$2\frac{1}{5} = \frac{2 \times 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$
Теперь решаем то, что в скобках:
Первым действием в скобках будет деление: $\frac{41}{8} : \frac{41}{32} = \frac{41}{8} \times \frac{32}{41} = \frac{41 \times 32}{8 \times 41} = \frac{32}{8} = 4$
Теперь в скобках вычитание: $\frac{27}{4} - 4 = \frac{27}{4} - \frac{16}{4} = \frac{11}{4}$
Осталось последнее действие — деление на $2\frac{1}{5}$ (то есть на $\frac{11}{5}$):
$$\frac{11}{4} : \frac{11}{5} = \frac{11}{4} \times \frac{5}{11} = \frac{11 \times 5}{4 \times 11} = \frac{5}{4}$$
Можно выделить целую часть: $1\frac{1}{4}$.
**Ответ: $1\frac{1}{4}$**
4) Тоже много действий, будь внимательным. Порядок действий: сначала в скобках, потом деление/умножение, потом сложение/вычитание.
Переведём смешанные дроби в обыкновенные:
$3\frac{1}{4} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$
$2\frac{1}{6} = \frac{2 \times 6 + 1}{6} = \frac{13}{6}$
$2\frac{3}{5} = \frac{2 \times 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$
Первое действие – сложение в скобках. Приводим к общему знаменателю (12):
$$\frac{13}{4} + \frac{13}{6} = \frac{13 \times 3}{4 \times 3} + \frac{13 \times 2}{6 \times 2} = \frac{39}{12} + \frac{26}{12} = \frac{65}{12}$$
Второе действие – деление:
$$\frac{65}{12} : \frac{13}{5} = \frac{65}{12} \times \frac{5}{13} = \frac{65 \times 5}{12 \times 13}$$
Мы можем сократить 65 и 13, потому что $65 = 5 \times 13$. Значит, $65 \div 13 = 5$, а $13 \div 13 = 1$.
$$\frac{5 \times 5}{12 \times 1} = \frac{25}{12}$$
Третье действие – умножение:
$$\frac{2}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{2 \times 4}{3 \times 9} = \frac{8}{27}$$
Четвёртое действие – вычитание:
$$\frac{25}{12} - \frac{8}{27}$$
Найдём общий знаменатель для 12 и 27. $12 = 2^2 \times 3$, а $27 = 3^3$. Значит, наименьший общий знаменатель будет $2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108$.
$$\frac{25 \times 9}{12 \times 9} - \frac{8 \times 4}{27 \times 4} = \frac{225}{108} - \frac{32}{108} = \frac{225 - 32}{108} = \frac{193}{108}$$
Можно выделить целую часть: $193 \div 108 = 1$ и остаток $193 - 108 = 85$. Значит, $1\frac{85}{108}$.
**Ответ: $1\frac{85}{108}$**
**81. Решите уравнение:**
1) Уравнение $\frac{6}{5}x = \frac{3}{5}$
Чтобы найти $x$, нужно правую часть разделить на множитель при $x$. То есть, разделить $\frac{3}{5}$ на $\frac{6}{5}$.
$$x = \frac{3}{5} : \frac{6}{5} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{6} = \frac{3 \times 5}{5 \times 6} = \frac{15}{30}$$
Сократим дробь на 15.
$$x = \frac{1}{2}$$
**Ответ: $x = \frac{1}{2}$**
2) Уравнение $\frac{4}{7}x = 1$
Чтобы найти $x$, нужно 1 разделить на $\frac{4}{7}$.
$$x = 1 : \frac{4}{7} = 1 \times \frac{7}{4} = \frac{7}{4}$$
Можно выделить целую часть: $1\frac{3}{4}$.
**Ответ: $x = 1\frac{3}{4}$**
3) Уравнение $\frac{3}{4}x = 12$
Чтобы найти $x$, нужно 12 разделить на $\frac{3}{4}$.
$$x = 12 : \frac{3}{4} = 12 \times \frac{4}{3} = \frac{12 \times 4}{3} = \frac{48}{3} = 16$$
**Ответ: $x = 16$**
4) Уравнение $3x = \frac{2}{3}$
Чтобы найти $x$, нужно $\frac{2}{3}$ разделить на 3.
$$x = \frac{2}{3} : 3 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2 \times 1}{3 \times 3} = \frac{2}{9}$$
**Ответ: $x = \frac{2}{9}$**
5) Уравнение $x : \frac{7}{15} = \frac{15}{28}$
Чтобы найти делимое $x$, нужно частное умножить на делитель. То есть, $\frac{15}{28}$ умножить на $\frac{7}{15}$.
$$x = \frac{15}{28} \times \frac{7}{15} = \frac{15 \times 7}{28 \times 15}$$
Сократим 15 и 15 (получится 1), а 7 и 28 (получится 1 и 4).
$$x = \frac{1 \times 1}{4 \times 1} = \frac{1}{4}$$
**Ответ: $x = \frac{1}{4}$**
6) Уравнение $5\frac{1}{4} : x = \frac{7}{8}$
Сначала переведём смешанную дробь в обыкновенную: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$.
Теперь уравнение выглядит так: $\frac{21}{4} : x = \frac{7}{8}$
Чтобы найти делитель $x$, нужно делимое разделить на частное. То есть, $\frac{21}{4}$ разделить на $\frac{7}{8}$.
$$x = \frac{21}{4} : \frac{7}{8} = \frac{21}{4} \times \frac{8}{7}$$
Сократим 21 и 7 (получится 3 и 1), а 8 и 4 (получится 2 и 1).
$$x = \frac{3 \times 2}{1 \times 1} = \frac{6}{1} = 6$$
**Ответ: $x = 6$**
