Привет! Давай разберемся с этими заданиями по математике.
### Задание 6. Сравните рациональные числа:
Чтобы сравнить числа, мы часто представляем их в одном виде (например, в десятичных дробях) и сравниваем по разрядам.
а) $0,013$ и $0,1004$
Сравним числа по разрядам, начиная с наибольшего:
У обоих чисел целая часть равна 0. Смотрим на десятые: у $0,013$ десятых 0, у $0,1004$ десятых 1. Значит, $0,1004$ больше.
**Ответ: $0,013 < 0,1004$**
б) $-24$ и $0,003$
Одно число отрицательное (меньше нуля), а другое положительное (больше нуля). Положительное число всегда больше отрицательного.
**Ответ: $-24 < 0,003$**
в) $-3,24$ и $-3,42$
Оба числа отрицательные. Чтобы сравнить отрицательные числа, мы сравниваем их по модулю (как если бы они были положительными), а потом ставим знак наоборот. Чем больше число по модулю, тем оно меньше, если оно отрицательное.
Сравним $3,24$ и $3,42$: целые части одинаковые (3). В десятых: у $3,24$ — 2, у $3,42$ — 4. Значит, $3,24 < 3,42$.
Так как числа отрицательные, то знак меняется на противоположный.
**Ответ: $-3,24 > -3,42$**
г) $\frac{3}{8}$ и $0,375$
Давай переведем дробь $\frac{3}{8}$ в десятичную дробь. Для этого разделим 3 на 8:
$$\begin{array}{cc|l}
3 & 0 & 8 \\ \hline
2 & 4 & 0,375 \\
\hline
& 6 & 0 \\
& 5 & 6 \\
\hline
& & 4 & 0 \\
& & 4 & 0 \\
\hline
& & & 0
\end{array}$$
Получается, $\frac{3}{8} = 0,375$.
Теперь сравниваем $0,375$ и $0,375$. Они равны.
**Ответ: $\frac{3}{8} = 0,375$**
д) $-1,174$ и $-1\frac{7}{40}$
Сначала переведем смешанную дробь $-1\frac{7}{40}$ в десятичную. Для этого переведем дробную часть $\frac{7}{40}$ в десятичную дробь, разделив 7 на 40:
$$\begin{array}{ccc|l}
7 & 0 & & 40 \\ \hline
4 & 0 & & 0,175 \\
\hline
3 & 0 & 0 \\
2 & 8 & 0 \\
\hline
& 2 & 0 & 0 \\
& 2 & 0 & 0 \\
\hline
& & & 0
\end{array}$$
Значит, $\frac{7}{40} = 0,175$. Тогда $-1\frac{7}{40} = -1,175$.
Теперь сравниваем $-1,174$ и $-1,175$.
Оба числа отрицательные. Сравниваем их модули: $1,174$ и $1,175$. Так как $1,174 < 1,175$, то для отрицательных чисел знак будет наоборот.
**Ответ: $-1,174 > -1,175$**
е) $\frac{10}{11}$ и $\frac{11}{12}$
Чтобы сравнить эти дроби, можно привести их к общему знаменателю или перевести в десятичные дроби.
Давай приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для 11 и 12 будет $11 \cdot 12 = 132$.
$\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 12}{11 \cdot 12} = \frac{120}{132}$
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 11}{12 \cdot 11} = \frac{121}{132}$
Теперь сравниваем $\frac{120}{132}$ и $\frac{121}{132}$. Так как $120 < 121$, то $\frac{120}{132} < \frac{121}{132}$.
**Ответ: $\frac{10}{11} < \frac{11}{12}$**
ж) $-2,005$ и $-2,04$
Оба числа отрицательные. Сравниваем их модули: $2,005$ и $2,04$.
Целая часть одинаковая (2). Десятые тоже одинаковые (0). Сотые: у $2,005$ — 0, у $2,04$ — 4. Значит, $2,005 < 2,04$.
Для отрицательных чисел знак будет наоборот.
**Ответ: $-2,005 > -2,04$**
з) $-1\frac{3}{4}$ и $-1,75$
Переведем смешанную дробь $-1\frac{3}{4}$ в десятичную. $\frac{3}{4} = 0,75$. Значит, $-1\frac{3}{4} = -1,75$.
Теперь сравниваем $-1,75$ и $-1,75$. Они равны.
**Ответ: $-1\frac{3}{4} = -1,75$**
и) $0,437$ и $\frac{7}{16}$
Переведем дробь $\frac{7}{16}$ в десятичную, разделив 7 на 16:
$$\begin{array}{ccc|l}
7 & 0 & & 16 \\ \hline
6 & 4 & & 0,4375 \\
\hline
& 6 & 0 \\
& 4 & 8 \\
\hline
& 1 & 2 & 0 \\
& 1 & 1 & 2 \\
\hline
& & 8 & 0 \\
& & 8 & 0 \\
\hline
& & & 0
\end{array}$$
Значит, $\frac{7}{16} = 0,4375$.
Теперь сравниваем $0,437$ и $0,4375$.
Целые части одинаковые (0). Десятые, сотые, тысячные тоже одинаковые (437). Смотрим на десятитысячные: у $0,437$ их нет (можно представить как $0,4370$), а у $0,4375$ их 5. Значит, $0,437 < 0,4375$.
**Ответ: $0,437 < \frac{7}{16}$**
к) $-\frac{1}{8}$ и $-0,13$
Переведем $-\frac{1}{8}$ в десятичную дробь. $\frac{1}{8} = 0,125$. Значит, $-\frac{1}{8} = -0,125$.
Теперь сравниваем $-0,125$ и $-0,13$.
Оба числа отрицательные. Сравниваем их модули: $0,125$ и $0,13$.
Целая часть одинаковая (0). Десятые тоже одинаковые (1). Сотые: у $0,125$ — 2, у $0,13$ — 3. Значит, $0,125 < 0,13$.
Для отрицательных чисел знак будет наоборот.
**Ответ: $-\frac{1}{8} > -0,13$**
л) $1,37$ и $1,(37)$
Число $1,(37)$ — это бесконечная периодическая дробь, которая выглядит как $1,373737...$
Сравниваем $1,37$ (можно представить как $1,370000...$) и $1,373737...$
Целая, десятая, сотая части одинаковые. Смотрим на тысячные: у $1,37$ — 0, у $1,373737...$ — 3. Значит, $1,37 < 1,373737...$
**Ответ: $1,37 < 1,(37)$**
м) $-5,(34)$ и $-5,34$
Число $-5,(34)$ — это $-5,343434...$
Число $-5,34$ можно представить как $-5,340000...$
Оба числа отрицательные. Сравниваем их модули: $5,343434...$ и $5,340000...$
Целая, десятая, сотая части одинаковые. Смотрим на тысячные: у $5,343434...$ — 3, у $5,340000...$ — 0. Значит, $5,343434... > 5,340000...$
Для отрицательных чисел знак будет наоборот.
**Ответ: $-5,(34) < -5,34$**
### Задание 7. Укажите какое-либо число, которое:
а) больше $\frac{1}{8}$, но меньше $\frac{1}{7}$
Давай переведем эти дроби в десятичные, чтобы было удобнее искать число между ними.
$\frac{1}{8} = 0,125$
$\frac{1}{7} \approx 0,142857...$
Нам нужно найти число, которое больше $0,125$ и меньше $0,142857...$.
Мы можем взять число, например, с еще одним знаком после запятой.
Например, $0,13$ подходит, потому что $0,125 < 0,13 < 0,142857...$
**Ответ: $0,13$ (или другое число, например, $\frac{2}{15}$, $0,126$ и т.д.)**
б) больше $\frac{1}{6}$, но меньше $\frac{1}{5}$
Давай переведем эти дроби в десятичные:
$\frac{1}{6} \approx 0,1666...$
$\frac{1}{5} = 0,2$
Нам нужно найти число, которое больше $0,1666...$ и меньше $0,2$.
Например, $0,17$ подходит, потому что $0,1666... < 0,17 < 0,2$.
**Ответ: $0,17$ (или другое число, например, $\frac{3}{17}$, $0,18$ и т.д.)**
### Задание 8. Укажите несколько чисел, заключённых между:
а) $10$ и $10,1$
Между $10$ и $10,1$ можно найти много чисел. Например, если мы добавим еще один знак после запятой к $10$ (получится $10,0$), то между $10,0$ и $10,1$ можно взять $10,01$, $10,02$, $10,05$ и так далее.
**Ответ: $10,01; 10,05; 10,09$**
б) $-0,001$ и $0$
Это отрицательные числа. Чем ближе число к нулю, тем оно больше.
Мы ищем числа, которые больше $-0,001$ (то есть ближе к нулю) и меньше $0$.
Например, $-0,0005$, $-0,0001$. Можно добавить еще нули после запятой, чтобы найти больше чисел.
**Ответ: $-0,0009; -0,0005; -0,0001$**
в) $-1001$ и $-1000$
Это отрицательные целые числа. Между ними нет целых чисел, но есть дроби.
Мы ищем числа, которые больше $-1001$ (то есть ближе к $-1000$) и меньше $-1000$.
Например, $-1000,5$, $-1000,1$, $-1000,99$.
**Ответ: $-1000,9; -1000,5; -1000,1$**
г) $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$
Переведем эти дроби в десятичные:
$\frac{1}{3} = 0,333...$
$\frac{2}{3} = 0,666...$
Нам нужно найти числа, которые больше $0,333...$ и меньше $0,666...$.
Например, $0,4$, $0,5$, $0,6$. Или можно записать в виде дробей: $\frac{4}{9}$, $\frac{1}{2}$.
**Ответ: $0,4; 0,5; 0,6$ (или $\frac{4}{9}; \frac{1}{2}; \frac{5}{9}$)**
