Укажи допустимые значения переменной в выражении $\frac{x}{x-2}$

Привет! Давай разберёмся, что такое «допустимые значения переменной». Это такие числа, которые мы можем подставить вместо буквы (переменной) в выражение, чтобы оно имело смысл. Главное правило: нельзя делить на ноль, потому что это просто невозможно! Поэтому знаменатель дроби никогда не должен быть равен нулю. ### Задание 10 **а) При каких значениях переменной `x` имеет смысл рациональное выражение $\frac{x}{x-2}$?** Чтобы выражение имело смысл, его знаменатель не должен быть равен нулю. $x - 2 \neq 0$ $x \neq 2$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме 2. **Ответ: $x \neq 2$** **б) При каких значениях переменной `b` имеет смысл рациональное выражение $\frac{b+4}{b^2+7}$?** Здесь знаменатель $b^2+7$. Квадрат любого числа ($b^2$) всегда неотрицательный (то есть больше или равен нулю). Если к нему прибавить 7, то результат всегда будет больше нуля. Он никогда не будет равен нулю. $b^2 + 7 \neq 0$ Значит, $b$ может быть любым числом. **Ответ: $b$ - любое число** **в) При каких значениях переменной `y` имеет смысл рациональное выражение $\frac{y^2-1}{y-3}$?** Знаменатель не должен быть равен нулю. $y - 3 \neq 0$ $y \neq 3$ Значит, $y$ может быть любым числом, кроме 3. **Ответ: $y \neq 3$** **г) При каких значениях переменной `a` имеет смысл рациональное выражение $\frac{a+2}{a(a+1)}$?** Знаменатель $a(a+1)$ не должен быть равен нулю. Это произойдёт, если $a=0$ или $a+1=0$. $a \neq 0$ $a+1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$ Значит, $a$ может быть любым числом, кроме 0 и -1. **Ответ: $a \neq 0, a \neq -1$** ### Задание 11 Укажите допустимые значения переменной в выражении: **а) $x^2 - 8x + 9$** Это просто многочлен, здесь нет дроби и нет деления. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ - любое число** **б) $\frac{1}{6x-3}$** Знаменатель не должен быть равен нулю. $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме $\frac{1}{2}$. **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$** **в) $\frac{7}{3x-6}$** Знаменатель не должен быть равен нулю. $3x - 6 \neq 0$ $3x \neq 6$ $x \neq \frac{6}{3}$ $x \neq 2$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме 2. **Ответ: $x \neq 2$** **г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$** Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это произойдёт, если $x=0$ или $x+1=0$. $4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме 0 и -1. **Ответ: $x \neq 0, x \neq -1$** **д) $\frac{y}{x^2+25} - 3x$** В этом выражении есть дробь $\frac{y}{x^2+25}$. Знаменатель $x^2+25$ никогда не будет равен нулю, потому что $x^2$ всегда неотрицательное число, и при прибавлении 25 оно всегда будет больше нуля. Вторая часть выражения $-3x$ не содержит деления. Значит, $x$ (и $y$) может быть любым числом. **Ответ: $x$ - любое число, $y$ - любое число** **е) $\frac{x+8}{x} + \frac{x}{x-8}$** Здесь две дроби, и у каждой свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби $\frac{x+8}{x}$: $x \neq 0$ Для второй дроби $\frac{x}{x-8}$: $x-8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$ Значит, $x$ может быть любым числом, кроме 0 и 8. **Ответ: $x \neq 0, x \neq 8$** ### Задание 12 Найдите допустимые значения переменной в выражении: **а) $\frac{5y-8}{11}$** В этой дроби знаменатель — число 11. Оно никогда не будет равно нулю. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ - любое число** **б) $\frac{25}{y-9}$** Знаменатель не должен быть равен нулю. $y - 9 \neq 0$ $y \neq 9$ Значит, $y$ может быть любым числом, кроме 9. **Ответ: $y \neq 9$** **в) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$** Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$. Это произойдёт, если $y=0$ или $y-2=0$. $y \neq 0$ $y-2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2$ Значит, $y$ может быть любым числом, кроме 0 и 2. **Ответ: $y \neq 0, y \neq 2$** **г) $\frac{y-10}{y^2+3}$** Знаменатель $y^2+3$ никогда не будет равен нулю, потому что $y^2$ всегда неотрицательное число, и при прибавлении 3 оно всегда будет больше нуля. Значит, $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ - любое число** **д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$** Здесь две дроби, и у каждой свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби $\frac{y}{y-6}$: $y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ Для второй дроби $\frac{15}{y+6}$: $y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$ Значит, $y$ может быть любым числом, кроме 6 и -6. **Ответ: $y \neq 6, y \neq -6$** **е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$** Здесь тоже две дроби, и у каждой свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби $\frac{32}{y}$: $y \neq 0$ Для второй дроби $\frac{y+1}{y+7}$: $y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$ Значит, $y$ может быть любым числом, кроме 0 и -7. **Ответ: $y \neq 0, y \neq -7$**