Реши систему уравнений: $|x-1| + y = 2, x + y = 3

Привет! Давай разберемся с этими системами уравнений. Не переживай, это не так сложно, как кажется. ### 1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} |x-1| + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ 1. Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 3 - x $$ 2. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$ |x-1| + (3-x) = 2 $$ 3. Перенесем $(3-x)$ в правую часть уравнения: $$ |x-1| = 2 - (3-x) $$ $$ |x-1| = 2 - 3 + x $$ $$ |x-1| = x - 1 $$ 4. Мы знаем, что $|A| = A$ только тогда, когда $A \ge 0$. В нашем случае $A = x-1$. Значит, $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. 5. Таким образом, для любого $x$, который больше или равен 1, первое уравнение будет верным, если $y = 3-x$. **Ответ:** Решением системы являются все пары чисел $(x, y)$, где $x \ge 1$ и $y = 3-x$. Например, $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 0)$ и так далее. ### 2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \\ x + y = 4 \end{cases} $$ 1. Важно помнить, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, потому что на ноль делить нельзя. 2. Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 4 - x $$ 3. Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{4-x} = 1 $$ 4. Приведем дроби к общему знаменателю $x(4-x)$: $$ \frac{4-x}{x(4-x)} + \frac{x}{x(4-x)} = 1 $$ $$ \frac{4-x+x}{x(4-x)} = 1 $$ $$ \frac{4}{x(4-x)} = 1 $$ 5. Умножим обе части уравнения на $x(4-x)$. При этом $x \neq 4$. $$ 4 = x(4-x) $$ $$ 4 = 4x - x^2 $$ 6. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$ 7. Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (x-2)^2 = 0 $$ 8. Значит, $x-2 = 0$, и $x = 2$. 9. Теперь найдем $y$, используя $y = 4-x$: $$ y = 4 - 2 = 2 $$ **Ответ:** Решение системы: $x=2, y=2$, или $(2, 2)$. ### 3) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 8 \\ x^2 - 6y^2 = 3 \end{cases} $$ 1. Давай попробуем сделать так, чтобы правые части уравнений стали одинаковыми. Умножим второе уравнение на $\frac{8}{3}$: $$ \frac{8}{3}(x^2 - 6y^2) = \frac{8}{3} \cdot 3 $$ $$ \frac{8}{3}x^2 - 16y^2 = 8 $$ 2. Теперь у нас есть два уравнения, правые части которых равны 8: $$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 8 \\ \frac{8}{3}x^2 - 16y^2 = 8 \end{cases} $$ 3. Приравняем левые части уравнений друг к другу: $$ 2x^2 - 3xy - 19y^2 = \frac{8}{3}x^2 - 16y^2 $$ 4. Перенесем все члены в одну сторону: $$ 2x^2 - \frac{8}{3}x^2 - 3xy - 19y^2 + 16y^2 = 0 $$ $$ (\frac{6}{3}x^2 - \frac{8}{3}x^2) - 3xy - 3y^2 = 0 $$ $$ -\frac{2}{3}x^2 - 3xy - 3y^2 = 0 $$ 5. Умножим все уравнение на -3, чтобы избавиться от дроби и минуса: $$ 2x^2 + 9xy + 9y^2 = 0 $$ 6. Теперь разберем два случая: * **Случай 1: $y=0$** Если $y=0$, то $2x^2 + 9x(0) + 9(0)^2 = 0$, что дает $2x^2 = 0$, то есть $x=0$. Проверим пару $(0,0)$ в любом из исходных уравнений. Например, во втором: $0^2 - 6(0)^2 = 0 \neq 3$. Значит, $(0,0)$ не является решением. Поэтому $y \neq 0$. * **Случай 2: $y \neq 0$** Разделим уравнение $2x^2 + 9xy + 9y^2 = 0$ на $y^2$ (мы знаем, что $y \neq 0$): $$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 9\left(?rac{x}{y} ight) + 9 = 0 $$ Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда получим квадратное уравнение относительно $t$: $$ 2t^2 + 9t + 9 = 0 $$ Решим его с помощью формулы корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$ t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2} $$ $$ t = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4} $$ $$ t = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{4} $$ $$ t = \frac{-9 \pm 3}{4} $$ Находим два значения для $t$: $$ t_1 = \frac{-9 + 3}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $$ $$ t_2 = \frac{-9 - 3}{4} = \frac{-12}{4} = -3 $$ 7. Теперь у нас есть два варианта соотношения между $x$ и $y$: * **Вариант A: $t = -\frac{3}{2}$** $$ \frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \implies x = -\frac{3}{2}y $$ Подставим это в более простое второе исходное уравнение: $x^2 - 6y^2 = 3$. $$ \left(-\frac{3}{2}y\right)^2 - 6y^2 = 3 $$ $$ \frac{9}{4}y^2 - 6y^2 = 3 $$ $$ \frac{9}{4}y^2 - \frac{24}{4}y^2 = 3 $$ $$ -\frac{15}{4}y^2 = 3 $$ $$ y^2 = 3 \cdot \left(-\frac{4}{15}\right) $$ $$ y^2 = -\frac{12}{15} = -\frac{4}{5} $$ Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае нет действительных решений. * **Вариант B: $t = -3$** $$ \frac{x}{y} = -3 \implies x = -3y $$ Подставим это во второе исходное уравнение: $x^2 - 6y^2 = 3$. $$ (-3y)^2 - 6y^2 = 3 $$ $$ 9y^2 - 6y^2 = 3 $$ $$ 3y^2 = 3 $$ $$ y^2 = 1 $$ Значит, $y$ может быть $1$ или $-1$. * Если $y = 1$, то $x = -3 \cdot 1 = -3$. Получаем решение $(-3, 1)$. * Если $y = -1$, то $x = -3 \cdot (-1) = 3$. Получаем решение $(3, -1)$. **Ответ:** Решения системы: $(-3, 1)$ и $(3, -1)$.