Найди область определения функций, заданных формулами: а) y = 4x - 8; б) y = x² - 5x + 1; в) y = 2x / (5 - x); г) y = 3 / ((x - 4)(x + 1)); д) y = 1 / (x² + 1); е) y = √(x - 5)

Привет! Давай вместе разберемся с этими функциями и найдем, какие значения может принимать переменная \(x\) в каждой из них. Это и называется «область определения функции». Область определения функции — это все числа, которые можно подставить вместо \(x\), чтобы выражение имело смысл. Бывают два основных правила: 1. **Нельзя делить на ноль.** Значит, если \(x\) стоит в знаменателе дроби, то этот знаменатель не должен быть равен нулю. 2. **Нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.** Значит, если \(x\) стоит под квадратным корнем, то выражение под корнем должно быть больше или равно нулю. Давай посмотрим на каждую функцию: **а) \(y = 4x - 8\)** Здесь нет деления и нет корня. Значит, \(x\) может быть любым числом. **Ответ: Область определения функции: \(x \in \mathbb{R}\) или \((-\infty; +\infty)\).** **б) \(y = x^2 - 5x + 1\)** Это обычный многочлен. Здесь тоже нет деления и нет корня. Значит, \(x\) может быть любым числом. **Ответ: Область определения функции: \(x \in \mathbb{R}\) или \((-\infty; +\infty)\).** **в) \(y = \frac{2x}{5-x}\)** Тут у нас дробь, а значит, знаменатель не может быть равен нулю. Составим условие: $$5 - x \neq 0$$ $$x \neq 5$$ Значит, \(x\) может быть любым числом, кроме 5. **Ответ: Область определения функции: \(x \neq 5\) или \((-\infty; 5) \cup (5; +\infty)\).** **г) \(y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}\)** Здесь снова дробь, и знаменатель не должен быть равен нулю. Составим условие: $$(x-4)(x+1) \neq 0$$ Это значит, что каждый множитель не должен быть равен нулю: $$x-4 \neq 0 \quad \text{и} \quad x+1 \neq 0$$ $$x \neq 4 \quad \text{и} \quad x \neq -1$$ Значит, \(x\) может быть любым числом, кроме 4 и -1. **Ответ: Область определения функции: \(x \neq 4, x \neq -1\) или \((-\infty; -1) \cup (-1; 4) \cup (4; +\infty)\).** **д) \(y = \frac{1}{x^2 + 1}\)** Опять дробь, знаменатель не должен быть равен нулю. Составим условие: $$x^2 + 1 \neq 0$$ Давай подумаем: \(x^2\) (число в квадрате) всегда либо положительное, либо равно нулю (\(x^2 \ge 0\)). Если мы прибавим к нему 1, то \(x^2 + 1\) всегда будет больше или равно 1 (то есть всегда положительное). Оно никогда не будет равно нулю! Значит, \(x\) может быть любым числом. **Ответ: Область определения функции: \(x \in \mathbb{R}\) или \((-\infty; +\infty)\).** **е) \(y = \sqrt{x-5}\)** Здесь у нас квадратный корень. Это значит, что выражение под корнем не может быть отрицательным, оно должно быть больше или равно нулю. Составим условие: $$x - 5 \ge 0$$ $$x \ge 5$$ Значит, \(x\) может быть любым числом, которое больше или равно 5. **Ответ: Область определения функции: \(x \ge 5\) или \([5; +\infty)\).**