Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен 90°, 120° или 108°?

Привет! Давай разберёмся, сколько сторон может быть у выпуклого многоугольника, если все его углы одинаковые. У любого выпуклого многоугольника, у которого $n$ сторон, сумма всех внутренних углов равна $(n-2) \times 180^\circ$. Если все углы равны, то каждый такой угол можно найти по формуле: $Угол = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Давай посчитаем для каждого случая: 1. **Если каждый угол равен $90^\circ$:** Мы знаем, что каждый угол равен $90^\circ$, поэтому можем подставить это значение в формулу: $$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 90^\circ$$ Умножим обе части на $n$, чтобы избавиться от дроби: $$(n-2) \times 180 = 90n$$ Раскроем скобки: $$180n - 360 = 90n$$ Перенесём $90n$ в левую часть, а $-360$ в правую: $$180n - 90n = 360$$ $$90n = 360$$ Разделим на 90, чтобы найти $n$: $$n = \frac{360}{90}$$ $$n = 4$$ **Ответ: У многоугольника 4 стороны. Это квадрат или прямоугольник.** 2. **Если каждый угол равен $120^\circ$:** Так же подставим значение угла в формулу: $$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 120^\circ$$ Умножим обе части на $n$: $$(n-2) \times 180 = 120n$$ Раскроем скобки: $$180n - 360 = 120n$$ Перенесём $120n$ и $360$: $$180n - 120n = 360$$ $$60n = 360$$ Разделим на 60: $$n = \frac{360}{60}$$ $$n = 6$$ **Ответ: У многоугольника 6 сторон. Это правильный шестиугольник.** 3. **Если каждый угол равен $108^\circ$:** Снова подставляем значение угла: $$\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 108^\circ$$ Умножим обе части на $n$: $$(n-2) \times 180 = 108n$$ Раскроем скобки: $$180n - 360 = 108n$$ Перенесём $108n$ и $360$: $$180n - 108n = 360$$ $$72n = 360$$ Разделим на 72: $$n = \frac{360}{72}$$ $$n = 5$$ **Ответ: У многоугольника 5 сторон. Это правильный пятиугольник.**