Реши уравнение \frac{x^2+x}{4} - \frac{3-7x}{20} = 0

Привет! Давай вместе решим эти уравнения. ### Задание 3 Дано уравнение: $$\frac{x^2+x}{4} - \frac{3-7x}{20} = 0$$ Сначала найдём общий знаменатель для дробей. Это число, которое делится на 4 и на 20. Самое маленькое такое число — это 20. Чтобы у первой дроби получился знаменатель 20, нужно умножить её на 5 (и числитель, и знаменатель). $$ \frac{5(x^2+x)}{20} - \frac{3-7x}{20} = 0$$ Теперь у нас одинаковые знаменатели, можно объединить дроби: $$ \frac{5(x^2+x) - (3-7x)}{20} = 0$$ Раскроем скобки в числителе. Помни, что минус перед скобкой меняет знаки всех чисел внутри скобки. $$ \frac{5x^2 + 5x - 3 + 7x}{20} = 0$$ Приведём подобные слагаемые (сложим $5x$ и $7x$): $$ \frac{5x^2 + 12x - 3}{20} = 0$$ Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю. Знаменатель не может быть равен нулю, но у нас 20, так что всё в порядке. $$ 5x^2 + 12x - 3 = 0$$ Это квадратное уравнение! Решаем его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении $a=5$, $b=12$, $c=-3$. $$ D = (12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 144 - (-60) = 144 + 60 = 204$$ Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$ x_1 = \frac{-12 + \sqrt{204}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 + \sqrt{204}}{10}$$ $$ x_2 = \frac{-12 - \sqrt{204}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 - \sqrt{204}}{10}$$ Можно немного упростить $\sqrt{204}$. $204 = 4 \cdot 51$, поэтому $\sqrt{204} = \sqrt{4 \cdot 51} = 2\sqrt{51}$. $$ x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{51}}{10} = \frac{2(-6 + \sqrt{51})}{10} = \frac{-6 + \sqrt{51}}{5}$$ $$ x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{51}}{10} = \frac{2(-6 - \sqrt{51})}{10} = \frac{-6 - \sqrt{51}}{5}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{51}}{5}$, $x_2 = \frac{-6 - \sqrt{51}}{5}$ ### Задание 5 Дано уравнение: $$\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{8}{x}$$ Сначала нужно вспомнить, что знаменатели не могут быть равны нулю. Значит, $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$, $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$, и $x \neq 0$. Найдём общий знаменатель для всех дробей. Это $(x-2)(x+2)x$. Умножим каждую дробь на недостающие множители: $$ \frac{1 \cdot x(x+2)}{x(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8 \cdot (x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} $$ Теперь, когда знаменатели одинаковые (и мы помним, что они не равны нулю), мы можем приравнять числители: $$ x(x+2) + x(x-2) = 8(x-2)(x+2)$$ Раскроем скобки. Помни, что $(x-2)(x+2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$ (это формула разности квадратов). $$ x^2 + 2x + x^2 - 2x = 8(x^2 - 4)$$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ 2x^2 = 8x^2 - 32$$ Перенесём все члены с $x^2$ в одну сторону, а числа — в другую: $$ 32 = 8x^2 - 2x^2$$ $$ 32 = 6x^2$$ Разделим обе части на 6: $$ x^2 = \frac{32}{6}$$ Сократим дробь $\frac{32}{6}$ на 2: $$ x^2 = \frac{16}{3}$$ Теперь найдём $x$, извлекая квадратный корень: $$ x = \pm\sqrt{\frac{16}{3}} $$ $$ x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} $$ $$ x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} $$ Обычно принято избавляться от иррациональности в знаменателе (то есть от корня). Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $$ x = \pm \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{3} $$ Оба значения $x$ (положительное и отрицательное) не равны $2$, $-2$ или $0$, так что они подходят. **Ответ:** $x_1 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = -\frac{4\sqrt{3}}{3}$