Докажи, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$; б) $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$.

Привет! Давай разберёмся с этой задачкой по геометрии. ### Задание 471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. Мы знаем, что параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Есть несколько признаков параллелограмма, которые мы можем использовать. а) Дано: $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$. 1. Посмотри на треугольники $ABC$ и $CDA$. У них есть общая сторона $AC$. 2. Мы знаем, что $\angle BAC = \angle ACD$. Эти углы являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны! Значит, $AB \parallel CD$. 3. А ещё мы знаем, что $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы тоже накрест лежащие, но уже при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Раз они равны, то $BC \parallel AD$. 4. Получается, что у четырёхугольника $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). А это и есть определение параллелограмма! **Вывод:** Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. б) Дано: $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$. 1. У нас уже есть одна пара параллельных сторон: $AB \parallel CD$. 2. Давай проведём диагональ $AC$. Раз $AB \parallel CD$, то накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны. 3. Мы знаем, что весь угол $\angle A = \angle C$. То есть $\angle BAC + \angle CAD = \angle BCA + \angle ACD$. 4. Так как $\angle BAC = \angle ACD$, то мы можем их "вычесть" из обеих частей равенства. Тогда останется: $\angle CAD = \angle BCA$. 5. Ого! У нас опять получились равные накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$. Они образуются при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$. А это значит, что $AD \parallel BC$. 6. Теперь у нас есть две пары параллельных сторон: $AB \parallel CD$ (дано) и $AD \parallel BC$ (только что доказали). Значит, $ABCD$ — параллелограмм. **Вывод:** Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.