Сравни числа, используя перекрёстное правило в задании 1.

Привет! Давай разберёмся с этими дробями. ### Задание 1: Сравни числа, используя перекрёстное правило: Это значит, что мы умножаем числитель одной дроби на знаменатель другой и сравниваем полученные числа. Та дробь, у которой результат умножения будет больше, и есть большая дробь. а) Сравним $\frac{5}{9}$ и $\frac{7}{11}$ Умножаем: $5 \times 11 = 55$ и $9 \times 7 = 63$. Так как $55 < 63$, то $\frac{5}{9} < \frac{7}{11}$. б) Сравним $\frac{4}{21}$ и $\frac{3}{17}$ Умножаем: $4 \times 17 = 68$ и $21 \times 3 = 63$. Так как $68 > 63$, то $\frac{4}{21} > \frac{3}{17}$. в) Сравним $\frac{7}{12}$ и $\frac{9}{16}$ Умножаем: $7 \times 16 = 112$ и $12 \times 9 = 108$. Так как $112 > 108$, то $\frac{7}{12} > \frac{9}{16}$. г) Сравним $\frac{5}{8}$ и $\frac{8}{13}$ Умножаем: $5 \times 13 = 65$ и $8 \times 8 = 64$. Так как $65 > 64$, то $\frac{5}{8} > \frac{8}{13}$. ### Задание 2: Сравните числа, используя приём сравнения с «промежуточным» числом: Здесь нужно найти число, которое будет между двумя сравниваемыми дробями, или с которым будет удобно сравнить обе дроби (чаще всего это $\frac{1}{2}$). а) Сравним $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$ Попробуем сравнить с $\frac{1}{2}$: $\frac{11}{18}$ — это больше половины, потому что $11$ больше половины от $18$ (половина от $18$ это $9$). $\frac{10}{23}$ — это меньше половины, потому что $10$ меньше половины от $23$ (половина от $23$ это $11,5$). Значит, $\frac{11}{18} > \frac{1}{2}$ и $\frac{10}{23} < \frac{1}{2}$. **Ответ:** $\frac{11}{18} > \frac{10}{23}$. б) Сравним $\frac{5}{28}$ и $\frac{11}{40}$ Обе дроби меньше $\frac{1}{2}$ (так как $5 < 14$ и $11 < 20$). Давай попробуем найти общий знаменатель или привести их к десятичным дробям для удобства сравнения. Или, как в первом задании, использовать перекрёстное правило, если так удобнее. Применим перекрёстное правило: $5 \times 40 = 200$ $28 \times 11 = 308$ Так как $200 < 308$, то $\frac{5}{28} < \frac{11}{40}$. в) Сравним $\frac{49}{53}$ и $\frac{41}{40}$ Заметим, что $\frac{41}{40}$ — неправильная дробь, потому что $41 > 40$, значит она больше $1$. $\frac{49}{53}$ — правильная дробь, потому что $49 < 53$, значит она меньше $1$. Так как $\frac{41}{40} > 1$ и $\frac{49}{53} < 1$, то $\frac{49}{53} < \frac{41}{40}$. г) Сравним $\frac{9}{22}$ и $\frac{27}{50}$ Попробуем привести дроби к общему знаменателю. Знаменатели $22$ и $50$. Их наименьшее общее кратное (НОК) будет $2 \times 11 \times 25 = 550$. $\frac{9}{22} = \frac{9 \times 25}{22 \times 25} = \frac{225}{550}$ $\frac{27}{50} = \frac{27 \times 11}{50 \times 11} = \frac{297}{550}$ Так как $225 < 297$, то $\frac{9}{22} < \frac{27}{50}$. ### Задание 3: Сравните числа, используя любой удобный вам способ: а) Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{11}{27}$ Используем перекрёстное правило: $3 \times 27 = 81$ $7 \times 11 = 77$ Так как $81 > 77$, то $\frac{3}{7} > \frac{11}{27}$. б) Сравним $\frac{31}{32}$ и $\frac{21}{22}$ Эти дроби очень близки к $1$. Давай посмотрим, насколько они отличаются от $1$. $1 - \frac{31}{32} = \frac{32}{32} - \frac{31}{32} = \frac{1}{32}$ $1 - \frac{21}{22} = \frac{22}{22} - \frac{21}{22} = \frac{1}{22}$ Мы сравниваем $\frac{1}{32}$ и $\frac{1}{22}$. Чем меньше вычитаемое, тем больше сама дробь. Так как $\frac{1}{32} < \frac{1}{22}$ (у них одинаковый числитель $1$, но у $\frac{1}{32}$ знаменатель больше, значит дробь меньше), то $\frac{31}{32} > \frac{21}{22}$. в) Сравним $\frac{45}{98}$ и $\frac{23}{38}$ Здесь удобно сравнить с $\frac{1}{2}$: Для $\frac{45}{98}$: половина от $98$ это $49$. Так как $45 < 49$, то $\frac{45}{98} < \frac{1}{2}$. Для $\frac{23}{38}$: половина от $38$ это $19$. Так как $23 > 19$, то $\frac{23}{38} > \frac{1}{2}$. Значит, $\frac{45}{98} < \frac{23}{38}$. г) Сравним $\frac{22}{21}$ и $\frac{21}{20}$ Обе дроби неправильные (больше $1$). $\frac{22}{21} = 1 \frac{1}{21}$ $\frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20}$ Теперь нужно сравнить $\frac{1}{21}$ и $\frac{1}{20}$. Так как у них одинаковый числитель $1$, а у $\frac{1}{20}$ знаменатель меньше, то $\frac{1}{20}$ будет больше. Значит, $1\frac{1}{21} < 1\frac{1}{20}$, то есть $\frac{22}{21} < \frac{21}{20}$. ### Задание 4: а) Петя и Коля, сравнивая длины своих шагов, заметили, что 17 шагов Пети составили 8 м, а 20 шагов Коли составили 11 м. Чей шаг короче? Сначала найдём длину одного шага Пети и Коли. Шаг Пети: $\frac{8 \text{ м}}{17 \text{ шагов}} = \frac{8}{17}$ м/шаг Шаг Коли: $\frac{11 \text{ м}}{20 \text{ шагов}} = \frac{11}{20}$ м/шаг Теперь сравним дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{20}$ с помощью перекрёстного правила: $8 \times 20 = 160$ $17 \times 11 = 187$ Так как $160 < 187$, то $\frac{8}{17} < \frac{11}{20}$. Это значит, что шаг Пети короче. **Ответ:** Шаг Пети короче. б) Петя распечатал на своём принтере 14 страниц за 3 мин, а Коля на своём — 24 страницы за 5 мин. Чей принтер работает быстрее? Чтобы узнать, чей принтер работает быстрее, нужно узнать, сколько страниц каждый принтер печатает за одну минуту. Скорость принтера Пети: $\frac{14 \text{ страниц}}{3 \text{ мин}} = \frac{14}{3}$ страниц/мин Скорость принтера Коли: $\frac{24 \text{ страниц}}{5 \text{ мин}} = \frac{24}{5}$ страниц/мин Теперь сравним дроби $\frac{14}{3}$ и $\frac{24}{5}$: $14 \times 5 = 70$ $3 \times 24 = 72$ Так как $70 < 72$, то $\frac{14}{3} < \frac{24}{5}$. Это значит, что принтер Коли работает быстрее. **Ответ:** Принтер Коли работает быстрее. ### Задание 5: Какие из следующих дробей можно представить в виде десятичных? Чтобы дробь можно было представить в виде десятичной, её знаменатель должен быть таким, чтобы его можно было разложить на простые множители, содержащие только $2$ и $5$. Проверим каждую дробь: $\frac{3}{40}$: $40 = 4 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5^1$. Знаменатель состоит из двоек и пятёрок. **Можно представить.** $\frac{7}{15}$: $15 = 3 \times 5$. Здесь есть множитель $3$. **Нельзя представить.** $\frac{16}{24}$: Эту дробь можно сократить. $\frac{16}{24} = \frac{2 \times 8}{3 \times 8} = \frac{2}{3}$. Знаменатель $3$. **Нельзя представить.** $\frac{9}{45}$: Эту дробь можно сократить. $\frac{9}{45} = \frac{9 \times 1}{9 \times 5} = \frac{1}{5}$. Знаменатель $5$. **Можно представить.** $\frac{14}{50}$: Эту дробь можно сократить. $\frac{14}{50} = \frac{2 \times 7}{2 \times 25} = \frac{7}{25}$. Знаменатель $25 = 5 \times 5 = 5^2$. **Можно представить.** $\frac{34}{16}$: Эту дробь можно сократить. $\frac{34}{16} = \frac{2 \times 17}{2 \times 8} = \frac{17}{8}$. Знаменатель $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$. **Можно представить.** **Ответ:** Дроби $\frac{3}{40}$, $\frac{9}{45}$ (или $\frac{1}{5}$), $\frac{14}{50}$ (или $\frac{7}{25}$) и $\frac{34}{16}$ (или $\frac{17}{8}$) можно представить в виде десятичных дробей. ### Задание 6: Сравните числа: а) $0,8$ и $\frac{3}{4}$ Переведём $\frac{3}{4}$ в десятичную дробь: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,75$. Сравним $0,8$ и $0,75$. Так как $0,8 > 0,75$, то $0,8 > \frac{3}{4}$. б) $\frac{4}{5}$ и $0,9$ Переведём $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь: $\frac{4}{5} = 4 \div 5 = 0,8$. Сравним $0,8$ и $0,9$. Так как $0,8 < 0,9$, то $\frac{4}{5} < 0,9$. в) $0,25$ и $\frac{7}{25}$ Переведём $\frac{7}{25}$ в десятичную дробь: $\frac{7}{25} = 7 \div 25 = 0,28$. Сравним $0,25$ и $0,28$. Так как $0,25 < 0,28$, то $0,25 < \frac{7}{25}$. г) $\frac{21}{40}$ и $0,52$ Переведём $\frac{21}{40}$ в десятичную дробь: $21 \div 40 = 0,525$. Сравним $0,525$ и $0,52$. Так как $0,525 > 0,52$, то $\frac{21}{40} > 0,52$. ### Задание 7: Даны дроби: $\frac{12}{25}$; $\frac{21}{40}$; $0,52$; $\frac{7}{15}$; $\frac{13}{20}$. Какая из них является наибольшей? Чтобы сравнить все эти числа, удобнее всего перевести их в десятичные дроби. $\frac{12}{25} = 12 \div 25 = 0,48$ $\frac{21}{40} = 21 \div 40 = 0,525$ $0,52$ $\frac{7}{15} = 7 \div 15 \approx 0,4666...$ $\frac{13}{20} = 13 \div 20 = 0,65$ Теперь сравним все десятичные дроби: $0,48$; $0,525$; $0,52$; $0,466...$; $0,65$. Наибольшая из них — $0,65$. **Ответ:** Наибольшая дробь — $\frac{13}{20}$.