Докажи, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

10. Смотри, разность — это результат вычитания. Произведение — это результат умножения. Частное — это результат деления. Рациональные числа — это те, которые можно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число. Целое число — это число, которое не имеет дробной части (0, 1, 2, -1, -2 и так далее). Натуральное число — это числа, которые мы используем для счёта (1, 2, 3 и так далее). Нам нужно доказать, что: * Разность двух рациональных чисел — это рациональное число. Пусть у нас есть два рациональных числа: $r_1 = \frac{a}{b}$ и $r_2 = \frac{c}{d}$, где $a, c$ — целые числа, а $b, d$ — натуральные числа (и не равны нулю). Найдём их разность: $$r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ Смотри, $ad - bc$ — это тоже целое число, потому что $a, d, b, c$ — целые числа, и при умножении и вычитании целых чисел получается целое число. А $bd$ — это натуральное число (и не равно нулю), потому что $b$ и $d$ — натуральные числа. Значит, $\frac{ad - bc}{bd}$ — это рациональное число. Так и доказали! * Произведение двух рациональных чисел — это рациональное число. Опять возьмём те же рациональные числа: $r_1 = \frac{a}{b}$ и $r_2 = \frac{c}{d}$. Найдём их произведение: $$r_1 \cdot r_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $ac$ — это целое число (произведение целых чисел — целое). $bd$ — это натуральное число (произведение натуральных чисел — натуральное, и не равно нулю). Значит, $\frac{ac}{bd}$ — это рациональное число. Снова доказали! * Частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — это рациональное число. И снова наши рациональные числа: $r_1 = \frac{a}{b}$ и $r_2 = \frac{c}{d}$. Важно, что делитель $r_2$ не равен нулю, значит, $c \neq 0$. Найдём их частное: $$r_1 \div r_2 = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$ $ad$ — это целое число. $bc$ — это натуральное число (так как $b$ — натуральное, $c$ — целое, но не ноль, поэтому $bc$ будет целым и не равным нулю. А чтобы быть натуральным, оно должно быть положительным, что обычно подразумевается для знаменателя, но даже если оно отрицательное, мы можем умножить числитель и знаменатель на -1, и оно станет натуральным). Главное, что $bc \neq 0$. Значит, $\frac{ad}{bc}$ — это рациональное число. И это тоже доказано! **Ответ:** доказано.