Найди периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

**473.** Давай решим задачку про параллелограмм! В параллелограмме противоположные стороны равны, а сумма всех углов равна 360 градусам. Ещё у него соседние углы в сумме дают 180 градусов. У нас есть: $P_{ABCD} = 50$ см, $\angle C = 30^{\circ}$, $BH = 6,5$ см. 1. Мы знаем, что в параллелограмме углы, лежащие напротив друг друга, равны. Значит, $\angle A = \angle C = 30^{\circ}$. 2. Сумма соседних углов в параллелограмме равна $180^{\circ}$. Значит, $\angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Также $\angle D = 150^{\circ}$. Теперь про высоту $BH$. Высота — это отрезок, опущенный под прямым углом к стороне. В данном случае $BH$ опущен к прямой $CD$. Если мы рассмотрим треугольник $BHC$, то он будет прямоугольным, потому что $BH \perp CD$. Угол $\angle C = 30^{\circ}$. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Здесь $BH$ лежит напротив $\angle C = 30^{\circ}$, а гипотенуза — это сторона $BC$. Значит, $BH = \frac{1}{2} BC$. Отсюда мы можем найти $BC$: $6,5 = \frac{1}{2} BC \implies BC = 6,5 \cdot 2 = 13$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 13$ см. У нас есть периметр параллелограмма: $P = 2 \cdot (AB + BC)$. Мы знаем $P = 50$ см и $BC = 13$ см. Подставим эти значения: $50 = 2 \cdot (AB + 13)$ Разделим обе части на 2: $25 = AB + 13$ Теперь найдём $AB$: $AB = 25 - 13 = 12$ см. Так как $AB$ и $CD$ — противоположные стороны, то $CD = AB = 12$ см. **Ответ: Стороны параллелограмма равны 12 см и 13 см. Углы равны $30^{\circ}$ и $150^{\circ}$.** **474.** У нас есть параллелограмм $ABCD$. $BK$ — это биссектриса угла $A$. Биссектриса делит угол пополам. Значит, $\angle ABK = \angle KBC$. Но это неправильно. Бисектриса угла $A$ делит сам угол $A$ пополам, то есть $\angle DAB = \angle BAE$ (если $E$ точка на $BC$). А тут биссектриса пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Значит, $AK$ — это биссектриса $\angle A$. Тогда $\angle DAK = \angle KAB$. В параллелограмме стороны $AB$ и $CD$ параллельны. $AD$ — секущая. Значит, углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ являются внутренними накрест лежащими углами, а они равны: $\angle DAK = \angle AKB$. Мы уже сказали, что $AK$ — биссектриса $\angle DAB$. Значит, $\angle DAK = \angle KAB$. Из этого следует, что $\angle KAB = \angle AKB$. Если в треугольнике $ABK$ два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. Значит, стороны, лежащие напротив этих углов, тоже равны: $AB = BK$. Нам дано, что $BK = 15$ см. Значит, $AB = 15$ см. Ещё нам дано, что $KC = 9$ см. Сторона $CD$ состоит из двух отрезков: $CK$ и $KD$. Но $K$ лежит на $CD$, поэтому $CD = CK + KD$. Ой, в условии написано, что $BK$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Поэтому $K$ находится на $CD$. Но это противоречит тому, что $AK$ — биссектриса угла $A$. Обычно биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Если $AK$ биссектриса, то $K$ на $CD$. А тут $BK$ биссектриса угла $A$. Это точно ошибка в задании. **Допущение: Предположим, что $AK$ — биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.** В таком случае, как мы выяснили, $\triangle ADK$ — равнобедренный, и $AD = DK$. Но в задании дано $BK = 15$ см, а не $DK$. И $KC = 9$ см. **Допущение 2: Возможно, имелось в виду, что $BK$ — это биссектриса угла $B$, и она пересекает сторону $AD$ в точке $K$.** Если $BK$ — биссектриса угла $B$, то $\angle ABK = \angle CBK$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle KAB + \angle ABC = 180^{\circ}$. Также $AD \parallel BC$, и $BK$ — секущая. Тогда $\angle CBK = \angle AKB$ (как накрест лежащие углы). Получается, что $\angle ABK = \angle AKB$. Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB = AK$. Нам дано $BK = 15$ см. И $KC = 9$ см. Здесь $K$ на $CD$. Вернёмся к первому прочтению: **биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K.** Это тоже странно. Обычно биссектриса идёт к противоположной стороне. Если биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$, то $AK$ — биссектриса. Тогда $\angle DAK = \angle KAB$. Поскольку $AD \parallel BC$, то $\angle DAK = \angle AKB$ (как накрест лежащие углы). Следовательно, $\angle KAB = \angle AKB$. Значит, $\triangle ABK$ равнобедренный, и $AB = BK$. Дано $BK = 15$ см. Тогда $AB = 15$ см. Дано $KC = 9$ см. Но если $K$ на $BC$, то $BC = BK + KC$. $BC = 15 + 9 = 24$ см. Периметр параллелограмма $P = 2 \cdot (AB + BC)$. $P = 2 \cdot (15 + 24) = 2 \cdot 39 = 78$ см. **Ответ: 78 см.** **475.** У нас есть параллелограмм $ABCD$. Биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см. Представим, что биссектриса угла $A$ делит сторону $BC$. Пусть она пересекает $BC$ в точке $K$. Тогда, как мы уже разбирали в задаче 474, если $AK$ — биссектриса угла $A$, и $AD \parallel BC$, то $\angle KAB = \angle AKB$. Значит, $\triangle ABK$ равнобедренный, и $AB = BK$. Сторона $BC$ делится на отрезки 7 см и 14 см. Это значит, что $BK = 7$ см, а $KC = 14$ см (или наоборот). **Случай 1:** $BK = 7$ см, $KC = 14$ см. Тогда $AB = BK = 7$ см. Сторона $BC = BK + KC = 7 + 14 = 21$ см. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (7 + 21) = 2 \cdot 28 = 56$ см. **Случай 2:** $BK = 14$ см, $KC = 7$ см. Тогда $AB = BK = 14$ см. Сторона $BC = BK + KC = 14 + 7 = 21$ см. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (14 + 21) = 2 \cdot 35 = 70$ см. Обычно биссектриса, проведённая из вершины тупого угла, может делить сторону. А биссектриса острого угла может делить другую сторону. **Допущение:** В условии не сказано, какую именно сторону делит биссектриса и какой угол. Обычно биссектриса угла $A$ (или $B$) делит сторону $BC$ (или $AD$). Возьмём биссектрису угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Тогда, как мы доказали в предыдущей задаче, $AB = BK$. Если $BK = 7$ см, то $AB = 7$ см. Тогда $BC = BK + KC = 7 + 14 = 21$ см. Периметр: $2 \cdot (7 + 21) = 2 \cdot 28 = 56$ см. Если $BK = 14$ см, то $AB = 14$ см. Тогда $BC = BK + KC = 14 + 7 = 21$ см. Периметр: $2 \cdot (14 + 21) = 2 \cdot 35 = 70$ см. **Ответ: Периметр параллелограмма может быть 56 см или 70 см.** **476.** Давай найдём углы параллелограмма $ABCD$. Помним, что в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^{\circ}$. **а) $\angle A = 84^{\circ}$** Если $\angle A = 84^{\circ}$, то: $\angle C = \angle A = 84^{\circ}$ (противоположные углы). $\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$ (соседние углы). $\angle D = \angle B = 96^{\circ}$ (противоположные углы). **Ответ: $\angle A = 84^{\circ}$, $\angle B = 96^{\circ}$, $\angle C = 84^{\circ}$, $\angle D = 96^{\circ}$.** **б) $\angle A - \angle B = 55^{\circ}$** Мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ (соседние углы). У нас получилась система из двух уравнений: $$\begin{cases} \angle A - \angle B = 55^{\circ} \\ \angle A + \angle B = 180^{\circ} \end{cases}$$ Сложим эти два уравнения: $(\angle A - \angle B) + (\angle A + \angle B) = 55^{\circ} + 180^{\circ}$ $2 \angle A = 235^{\circ}$ $\angle A = \frac{235^{\circ}}{2} = 117,5^{\circ}$. Теперь найдём $\angle B$: $\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 117,5^{\circ} = 62,5^{\circ}$. Остальные углы: $\angle C = \angle A = 117,5^{\circ}$. $\angle D = \angle B = 62,5^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 117,5^{\circ}$, $\angle B = 62,5^{\circ}$, $\angle C = 117,5^{\circ}$, $\angle D = 62,5^{\circ}$.** **в) $\angle A + \angle C = 142^{\circ}$** Мы знаем, что в параллелограмме $\angle A = \angle C$. Значит, $2 \angle A = 142^{\circ}$. $\angle A = \frac{142^{\circ}}{2} = 71^{\circ}$. Тогда $\angle C = 71^{\circ}$. Теперь найдём соседний угол $\angle B$: $\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 71^{\circ} = 109^{\circ}$. И $\angle D = \angle B = 109^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 71^{\circ}$, $\angle B = 109^{\circ}$, $\angle C = 71^{\circ}$, $\angle D = 109^{\circ}$.** **г) $\angle A = 2 \angle D$** Мы знаем, что $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ (соседние углы). Подставим $\angle A = 2 \angle D$ в это уравнение: $2 \angle D + \angle D = 180^{\circ}$ $3 \angle D = 180^{\circ}$ $\angle D = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}$. Теперь найдём $\angle A$: $\angle A = 2 \angle D = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Остальные углы: $\angle C = \angle A = 120^{\circ}$. $\angle B = \angle D = 60^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 120^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 120^{\circ}$, $\angle D = 60^{\circ}$.** **д) $\angle CAD = 37^{\circ}$** Здесь дано значение только одного из углов, образующих $\angle A$. Это часть угла $\angle A$. Нам этого недостаточно, чтобы найти все углы параллелограмма, потому что мы не знаем, как именно угол $A$ разделён. Нужна либо величина другого угла, либо какая-то другая информация (например, биссектриса). **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно добавить: величину другого угла, например $\angle BAC$, или то, является ли отрезок $AC$ биссектрисой или диагональю и как она связана с другими углами. **477.** В параллелограмме $MNPQ$ проведён перпендикуляр $NH$ к прямой $MQ$. Значит, $NH$ — это высота параллелограмма, и $NH \perp MQ$. Точка $H$ лежит на стороне $MQ$. Это значит, что $NH$ — высота к стороне $MQ$. Нам даны: $HQ = 5$ см $\angle MNH = 30^{\circ}$ $MH = 3$ см У нас есть треугольник $NHQ$. Он прямоугольный, так как $NH \perp MQ$. В этом треугольнике $NHQ$ мы знаем $HQ = 5$ см. Но $MH = 3$ см. Давай посмотрим на всю сторону $MQ$. $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $NP = MQ = 8$ см. Нам дан угол $\angle MNH = 30^{\circ}$. Это угол внутри $\triangle MNH$. Но $H$ лежит на $MQ$, а $M$ — вершина. Значит $\triangle MNH$ — прямоугольный, так как $NH$ — высота. В прямоугольном треугольнике $MNH$: Гипотенуза $MN$. Катет $NH$. Катет $MH = 3$ см. $\angle MNH = 30^{\circ}$. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$. В $\triangle MNH$: $\angle MHN = 90^{\circ}$ (потому что $NH$ — перпендикуляр) $\angle MNH = 30^{\circ}$ $\angle HMN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Так как $\angle HMN$ — это то же самое, что $\angle M$ параллелограмма, то $\angle M = 60^{\circ}$. В параллелограмме $\angle P = \angle M = 60^{\circ}$ (противоположные углы). Соседний угол $\angle N = 180^{\circ} - \angle M = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. И $\angle Q = \angle N = 120^{\circ}$. Теперь вернемся к $\triangle MNH$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Здесь $MH$ лежит против угла $\angle MNH = 30^{\circ}$. Значит, $MH = \frac{1}{2} MN$. Мы знаем $MH = 3$ см. $3 = \frac{1}{2} MN \implies MN = 3 \cdot 2 = 6$ см. В параллелограмме $MN = PQ = 6$ см. Итак, стороны параллелограмма $MN = 6$ см, $MQ = 8$ см. **Ответ: Стороны параллелограмма 6 см и 8 см. Углы $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.** **478.** **Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.** Давай вспомним, что такое выпуклый многоугольник. Выпуклый многоугольник — это такой многоугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, которая содержит одну из его сторон. Или, по-другому, если продлить любую сторону такого многоугольника, то весь многоугольник будет находиться по одну сторону от этой прямой. Возьмём наш параллелограмм $ABCD$. 1. Рассмотрим сторону $AB$. Если мы продлим её в прямую, то все остальные вершины $C$ и $D$ будут лежать по одну сторону от этой прямой. (Потому что $CD$ параллельна $AB$, и весь параллелограмм находится между этими параллельными прямыми). 2. То же самое с остальными сторонами: $BC$, $CD$, $AD$. Если мы продлим любую из них, весь параллелограмм будет по одну сторону от этой прямой. Ещё один способ понять это: все внутренние углы выпуклого многоугольника должны быть меньше $180^{\circ}$. У параллелограмма все углы всегда меньше $180^{\circ}$ (два острых и два тупых, но все они меньше $180^{\circ}$). Если бы один из углов был больше $180^{\circ}$, он был бы невыпуклым. Значит, параллелограмм полностью соответствует определению выпуклого четырёхугольника. **Ответ: Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, потому что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, содержащей одну из его сторон (или потому что все его внутренние углы меньше $180^{\circ}$).** **479.** **Из вершины $В$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, у которого $AB \ne BC$ и угол $A$ острый, проведены перпендикуляры $ВК$ и $DM$ к прямой $АС$. Докажите, что четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм. ** Давай разбираться! У нас есть параллелограмм $ABCD$. Это значит, что $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Ещё $AB=CD$ и $BC=AD$. Угол $A$ острый. Из вершин $B$ и $D$ опустили перпендикуляры на прямую $AC$. Значит, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Это означает, что $BK$ и $DM$ параллельны друг другу, так как они обе перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Чтобы доказать, что $BMDK$ — параллелограмм, нам нужно показать, что две пары его сторон параллельны, или что одна пара сторон параллельна и равна, или что диагонали делятся точкой пересечения пополам. Мы уже знаем, что $BK \parallel DM$ (потому что они обе перпендикулярны $AC$). Теперь нам нужно доказать, что $BM = DK$ и $BM \parallel DK$, или что $BK = DM$ и $BK \parallel DM$. Мы уже показали, что $BK \parallel DM$. Значит, если мы докажем, что $BK = DM$, то $BMDK$ будет параллелограммом. Давай рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CDM$. $AB = CD$ (как стороны параллелограмма $ABCD$). $\angle BKA = \angle DMC = 90^{\circ}$ (потому что $BK$ и $DM$ — перпендикуляры). Нам нужно найти ещё один равный элемент, чтобы доказать равенство этих прямоугольных треугольников. Рассмотрим прямые $AB \parallel CD$ и секущую $AC$. Тогда $\angle BAC = \angle DCA$ (как внутренние накрест лежащие углы). Теперь у нас есть: В $\triangle ABK$: $\angle BKA = 90^{\circ}$, $AB$ — гипотенуза, $\angle KAB = \angle BAC$. В $\triangle CDM$: $\angle DMC = 90^{\circ}$, $CD$ — гипотенуза, $\angle MCD = \angle DCA$. Так как $\angle BAC = \angle DCA$, то $\angle KAB = \angle MCD$. Значит, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CDM$ равны по гипотенузе ($AB = CD$) и острому углу ($\angle KAB = \angle MCD$). Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $BK = DM$ (катеты). $AK = CM$ (катеты). Итак, мы доказали, что $BK \parallel DM$ и $BK = DM$. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $BMDK$ — параллелограмм. **Ответ: Доказано, что $BMDK$ — параллелограмм. $BK$ и $DM$ перпендикулярны одной прямой $AC$, поэтому они параллельны. Треугольники $ABK$ и $CDM$ равны (по гипотенузе $AB=CD$ и острому углу $\angle KAB = \angle MCD$). Из равенства треугольников следует, что $BK=DM$. Так как $BK \parallel DM$ и $BK=DM$, четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм.**