Найди значение выражения $11^{-23} \cdot 11^{25}$

Привет! Давай вместе решим эти примеры на степени. Тут нужно вспомнить несколько правил: * Когда умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ * Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$ * Когда возводим степень в степень, показатели умножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ Приступим: 1) $11^{-23} \cdot 11^{25}$ Здесь мы умножаем степени с одинаковым основанием (число 11). Значит, нужно сложить показатели: $11^{-23+25} = 11^2$ Теперь возводим 11 в квадрат: $11^2 = 11 \cdot 11 = 121$ **Ответ: 121** 2) $3^{17} \cdot 3^{-14}$ Снова умножение степеней с одинаковым основанием (число 3). Складываем показатели: $3^{17+(-14)} = 3^{17-14} = 3^3$ Возводим 3 в третью степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$ **Ответ: 27** 3) $4^{-16} : 4^{-12}$ Тут мы делим степени с одинаковым основанием (число 4). Значит, из показателя первой степени вычитаем показатель второй степени: $4^{-16 - (-12)} = 4^{-16+12} = 4^{-4}$ Отрицательный показатель означает, что число нужно перевернуть и возвести в положительную степень: $4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{16 \cdot 16} = \frac{1}{256}$ **Ответ: $\frac{1}{256}$** 4) $10^{-15} : 10^{-14} \cdot 10^{-2}$ Сначала деление, потом умножение. Применяем правила последовательно: $10^{-15 - (-14)} \cdot 10^{-2} = 10^{-15+14} \cdot 10^{-2} = 10^{-1} \cdot 10^{-2}$ Теперь умножение, складываем показатели: $10^{-1+(-2)} = 10^{-1-2} = 10^{-3}$ Отрицательный показатель: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$ **Ответ: $\frac{1}{1000}$** 5) $(14^{-10})^5 \cdot (14^{-6})^{-8}$ Здесь у нас степень возводится в степень. Показатели нужно перемножить: $(14^{-10 \cdot 5}) \cdot (14^{-6 \cdot (-8)}) = 14^{-50} \cdot 14^{48}$ Теперь умножение степеней с одинаковым основанием, складываем показатели: $14^{-50+48} = 14^{-2}$ Отрицательный показатель: $14^{-2} = \frac{1}{14^2} = \frac{1}{14 \cdot 14} = \frac{1}{196}$ **Ответ: $\frac{1}{196}$** 6) $\frac{3^{-12} \cdot (3^{-6})^{-3}}{(3^{-3})^{-4} \cdot (3^{-4})^2}$ Сначала упростим выражения в скобках, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: Числитель: $(3^{-6})^{-3} = 3^{(-6) \cdot (-3)} = 3^{18}$ Знаменатель: $(3^{-3})^{-4} = 3^{(-3) \cdot (-4)} = 3^{12}$ $(3^{-4})^2 = 3^{(-4) \cdot 2} = 3^{-8}$ Теперь подставляем упрощённые части обратно в дробь: $\frac{3^{-12} \cdot 3^{18}}{3^{12} \cdot 3^{-8}}$ Дальше упрощаем числитель и знаменатель по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: Числитель: $3^{-12+18} = 3^6$ Знаменатель: $3^{12+(-8)} = 3^{12-8} = 3^4$ Получаем дробь: $\frac{3^6}{3^4}$ Теперь делим степени с одинаковым основанием, вычитаем показатели: $3^{6-4} = 3^2$ Возводим 3 в квадрат: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ **Ответ: 9**