Найди значение дроби (x^2 + 5x - 24) / (x^2 + 5x - 6), если x = 7

Привет! Чтобы решить это задание, нужно подставить значения \(x\) в дробь, а потом посчитать. Давай по порядку: Сначала упростим дробь, чтобы было легче считать. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. Мы можем заметить, что и в числителе, и в знаменателе есть выражение \(x^2 + 5x\). Пусть \(y = x^2 + 5x\). Тогда наша дробь будет выглядеть так: $$\frac{y - 24}{y - 6}$$ Теперь разложим числитель и знаменатель исходной дроби на множители с помощью корней квадратного уравнения. Если у нас есть квадратный трехчлен \(ax^2 + bx + c\), то его можно разложить как \(a(x - x_1)(x - x_2)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — это корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Для числителя \(x^2 + 5x - 24 = 0\): Найдём дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 11}{2}\). \(x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3\). \(x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8\). Значит, \(x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x - (-8)) = (x - 3)(x + 8)\). Для знаменателя \(x^2 + 5x - 6 = 0\): Найдём дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}\). \(x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\). \(x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\). Значит, \(x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x - (-6)) = (x - 1)(x + 6)\). Теперь дробь можно записать так: $$\frac{(x - 3)(x + 8)}{(x - 1)(x + 6)}$$ Важное правило: знаменатель дроби не может быть равен нулю. Значит, \(x \neq 1\) и \(x \neq -6\). Теперь подставляем значения \(x\) из каждого пункта: а) Если \(x = 7\): $$\frac{(7 - 3)(7 + 8)}{(7 - 1)(7 + 6)} = \frac{4 \cdot 15}{6 \cdot 13} = \frac{60}{78} = \frac{10}{13}$$ б) Если \(x = 3\): $$\frac{(3 - 3)(3 + 8)}{(3 - 1)(3 + 6)} = \frac{0 \cdot 11}{2 \cdot 9} = \frac{0}{18} = 0$$ в) Если \(x = 0\): $$\frac{(0 - 3)(0 + 8)}{(0 - 1)(0 + 6)} = \frac{-3 \cdot 8}{-1 \cdot 6} = \frac{-24}{-6} = 4$$ г) Если \(x = -2\): $$\frac{(-2 - 3)(-2 + 8)}{(-2 - 1)(-2 + 6)} = \frac{-5 \cdot 6}{-3 \cdot 4} = \frac{-30}{-12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$$ д) Если \(x = 0,5\): $$\frac{(0,5 - 3)(0,5 + 8)}{(0,5 - 1)(0,5 + 6)} = \frac{-2,5 \cdot 8,5}{-0,5 \cdot 6,5} = \frac{-21,25}{-3,25} = \frac{2125}{325} = \frac{85}{13} \approx 6,538$$ е) Если \(x = 1,9\): $$\frac{(1,9 - 3)(1,9 + 8)}{(1,9 - 1)(1,9 + 6)} = \frac{-1,1 \cdot 9,9}{0,9 \cdot 7,9} = \frac{-10,89}{7,11} \approx -1,532$$ **Ответ:** а) При \(x = 7\) значение дроби равно \(\frac{10}{13}\). б) При \(x = 3\) значение дроби равно \(0\). в) При \(x = 0\) значение дроби равно \(4\). г) При \(x = -2\) значение дроби равно \(2,5\). д) При \(x = 0,5\) значение дроби равно \(\frac{85}{13}\). е) При \(x = 1,9\) значение дроби равно \(\approx -1,532\).