В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Вырази другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найди их значения, если b=10 см, β=50°.

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по геометрии. Представим, что у нас есть прямоугольный треугольник. Один из катетов, допустим, $AC$, равен $b$. Угол, который лежит напротив этого катета (противолежащий угол), пусть это будет угол $B$, равен $\beta$. Прямой угол у нас при вершине $C$. а) Нужно выразить другой катет $BC$ через $b$ и $\beta$. Мы знаем, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае для угла $\beta$ противолежащий катет $AC=b$, а прилежащий катет $BC$. Тогда: $$\tan \beta = \frac{AC}{BC}$$ $$\tan \beta = \frac{b}{BC}$$ Теперь выразим $BC$: $$BC = \frac{b}{\tan \beta}$$ б) Теперь найдём гипотенузу $AB$. Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\beta$ противолежащий катет $AC=b$, а гипотенуза $AB$. Тогда: $$\sin \beta = \frac{AC}{AB}$$ $$\sin \beta = \frac{b}{AB}$$ Выразим $AB$: $$AB = \frac{b}{\sin \beta}$$ Теперь подставим числовые значения, если $b = 10$ см и $\beta = 50^\circ$. Для катета $BC$: $$BC = \frac{10}{\tan 50^\circ}$$ Нам понадобится калькулятор, чтобы найти $\tan 50^\circ \approx 1.19175$. $$BC \approx \frac{10}{1.19175} \approx 8.39 \text{ см}$$ Для гипотенузы $AB$: $$AB = \frac{10}{\sin 50^\circ}$$ С помощью калькулятора найдём $\sin 50^\circ \approx 0.76604$. $$AB \approx \frac{10}{0.76604} \approx 13.05 \text{ см}$$ **Ответ:** a) Другой катет $BC = \frac{b}{\tan \beta}$, гипотенуза $AB = \frac{b}{\sin \beta}$. б) Если $b = 10$ см и $\beta = 50^\circ$, то $BC \approx 8.39$ см, $AB \approx 13.05$ см.