Привет! Давай разберёмся с этими тригонометрическими задачками. Чтобы найти $\cos t$, $\text{tg } t$ и $\text{ctg } t$, если нам известен $\sin t$ и в какой четверти находится угол $t$, мы будем использовать основные тригонометрические тождества:
1. $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ (это поможет найти $\cos t$)
2. $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$ (это поможет найти тангенс)
3. $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$ или $\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t}$ (это поможет найти котангенс)
И не забудем, что от четверти, в которой находится угол $t$, зависят знаки $\cos t$, $\text{tg } t$ и $\text{ctg } t$.
а) $\sin t = \frac{8}{17}$, $t \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$
* Угол $t$ находится во второй четверти (от 90° до 180°). Во второй четверти $\sin t > 0$ (это соответствует нашему условию), а вот $\cos t < 0$, $\text{tg } t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.
* Найдём $\cos t$:
$$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$
$$\cos^2 t = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$$
$$\cos t = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$$
Так как угол $t$ во второй четверти, $\cos t$ будет отрицательным:
$$\cos t = -\frac{15}{17}$$
* Найдём $\text{tg } t$:
$$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15}$$
* Найдём $\text{ctg } t$:
$$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{8}{15}} = -\frac{15}{8}$$
**Ответ: $\cos t = -\frac{15}{17}$, $\text{tg } t = -\frac{8}{15}$, $\text{ctg } t = -\frac{15}{8}$**
б) $\sin t = -\frac{7}{25}$, $t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$
* Угол $t$ находится в интервале от -90° до 90°. Поскольку $\sin t$ отрицательный, это означает, что угол $t$ находится в четвёртой четверти (от -90° до 0°). В четвёртой четверти $\sin t < 0$, $\cos t > 0$, $\text{tg } t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.
* Найдём $\cos t$:
$$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$
$$\cos^2 t = 1 - \left(-\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$$
$$\cos t = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$$
Так как угол $t$ в четвёртой четверти, $\cos t$ будет положительным:
$$\cos t = \frac{24}{25}$$
* Найдём $\text{tg } t$:
$$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = -\frac{7}{24}$$
* Найдём $\text{ctg } t$:
$$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{7}{24}} = -\frac{24}{7}$$
**Ответ: $\cos t = \frac{24}{25}$, $\text{tg } t = -\frac{7}{24}$, $\text{ctg } t = -\frac{24}{7}$**
в) $\sin t = \frac{9}{41}$, $t \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$
* Угол $t$ находится в интервале от 90° до 270°. Поскольку $\sin t$ положительный, это означает, что угол $t$ находится во второй четверти (от 90° до 180°). Во второй четверти $\sin t > 0$, $\cos t < 0$, $\text{tg } t < 0$ и $\text{ctg } t < 0$.
* Найдём $\cos t$:
$$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$
$$\cos^2 t = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$$
$$\cos t = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$$
Так как угол $t$ во второй четверти, $\cos t$ будет отрицательным:
$$\cos t = -\frac{40}{41}$$
* Найдём $\text{tg } t$:
$$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{9}{41}}{-\frac{40}{41}} = -\frac{9}{40}$$
* Найдём $\text{ctg } t$:
$$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{9}{40}} = -\frac{40}{9}$$
**Ответ: $\cos t = -\frac{40}{41}$, $\text{tg } t = -\frac{9}{40}$, $\text{ctg } t = -\frac{40}{9}$**
г) $\sin t = -\frac{35}{37}$, $t \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$
* Угол $t$ находится в третьей четверти (от 180° до 270°). В третьей четверти $\sin t < 0$ (это соответствует нашему условию), $\cos t < 0$, а вот $\text{tg } t > 0$ и $\text{ctg } t > 0$.
* Найдём $\cos t$:
$$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$$
$$\cos^2 t = 1 - \left(-\frac{35}{37}\right)^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{1369 - 1225}{1369} = \frac{144}{1369}$$
$$\cos t = \pm\sqrt{\frac{144}{1369}} = \pm\frac{12}{37}$$
Так как угол $t$ в третьей четверти, $\cos t$ будет отрицательным:
$$\cos t = -\frac{12}{37}$$
* Найдём $\text{tg } t$:
$$\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{35}{37}}{-\frac{12}{37}} = \frac{35}{12}$$
* Найдём $\text{ctg } t$:
$$\text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{\frac{35}{12}} = \frac{12}{35}$$
**Ответ: $\cos t = -\frac{12}{37}$, $\text{tg } t = \frac{35}{12}$, $\text{ctg } t = \frac{12}{35}$**
