Упростим выражение с дробями $\frac{5x+10}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4}$

Привет! Давай разберем эти интересные задания по математике. ### Задание 1: Упростим выражение с дробями У нас есть выражение: $$\frac{5x+10}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4}$$ 1. **Разложим числители и знаменатели на множители:** * В числителе первой дроби $5x+10$ можно вынести $5$ за скобки: $5(x+2)$. * В знаменателе второй дроби $x^2-1$ это разность квадратов: $(x-1)(x+1)$. * В знаменателе второй дроби $x^2-4$ это тоже разность квадратов: $(x-2)(x+2)$. Получается такое выражение: $$\frac{5(x+2)}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}$$ 2. **Сократим одинаковые множители** (только если они не равны нулю, конечно): * $(x+2)$ в числителе и знаменателе. * $(x-1)$ в числителе и знаменателе. После сокращения остаётся: $$\frac{5(x+1)}{x-2}$$ **Ответ:** $$\frac{5(x+1)}{x-2}$$ ### Задание 2: Упростим выражение с корнями У нас есть выражение: $$2\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{98}$$ 1. **Упростим корни:** наша цель — чтобы под корнем было как можно меньшее число. Мы можем это сделать, если найдем в числе под корнем полный квадрат (число, которое можно извлечь из-под корня). * $\sqrt{50}$: $50 = 25 \cdot 2$. Значит, $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. * $\sqrt{98}$: $98 = 49 \cdot 2$. Значит, $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$. 2. **Подставим упрощенные корни обратно в выражение:** $$2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$$ 3. **Сложим и вычтем корни, так как у них одинаковая "корневая часть" ($\sqrt{2}$):** $$(2 + 5 - 7)\sqrt{2} = (7 - 7)\sqrt{2} = 0\sqrt{2} = 0$$ **Ответ:** $$0$$ ### Задание 3: Упростим выражение с буквами и числами **Допущение: между $24b^2c$ и $16bc$ стоит знак деления (разделитель, похожий на двоеточие)** У нас есть выражение: $$\frac{24b^2c}{3a^6} : \frac{16bc}{a^5}$$ 1. **Заменим деление на умножение** и перевернем вторую дробь: $$\frac{24b^2c}{3a^6} \cdot \frac{a^5}{16bc}$$ 2. **Умножим числители и знаменатели:** $$\frac{24b^2c \cdot a^5}{3a^6 \cdot 16bc}$$ 3. **Сократим числа и буквы:** * **Числа:** $24$ и $3$ сократятся на $3$, останется $8$. Затем $8$ и $16$ сократятся на $8$, останется $2$ в знаменателе. * **Буква $b$:** $b^2$ в числителе и $b$ в знаменателе сократятся, останется $b$ в числителе. * **Буква $c$:** $c$ в числителе и $c$ в знаменателе сократятся полностью. * **Буква $a$:** $a^5$ в числителе и $a^6$ в знаменателе сократятся, останется $a$ в знаменателе. В итоге получим: $$\frac{b}{2a}$$ **Ответ:** $$\frac{b}{2a}$$